Рассмотрим маятник, колеблющийся под действием возвращающей силы, обратно пропорциональной квадрату времени
\[
\ddot{x}+\frac{t}{t^{2}}=0 .
\]

Разыскивая решение в виде $x=t^{\lambda}$ и подставляя это выражение в (3.3), получаем характеристическое уравнение

откуда
\[
\lambda^{2}-\lambda+1=0,
\]
\[
\lambda=\frac{1}{2} \pm \frac{i}{2} \sqrt{3} \text {. }
\]

Таким образом, линейно независимые решения уравнения (3.3) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=C_{1} \exp \left\{\ln t\left[\frac{1}{2}+\frac{i}{2} \sqrt{3}\right]\right\}, \\
x_{2}=C_{2} \exp \left\{\ln t\left[\frac{1}{2}-\frac{i}{2} \sqrt{3}\right]\right\}
\end{array}
\]

или, переходя к действительным величинам, получим
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{1}^{*}=A_{1} \sqrt{t} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \ln t\right), \\
x_{2}^{*}=A_{2} \sqrt{t} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \ln t\right),
\end{array}\right\}
\]

где $A_{1}, A_{2}$ и $C_{1}, C_{2}$ – произвольные постоянные.
Таким образом, колебательный процесс, описываемый уравнением (3.3), можно представить как суперпозицию двух колебательных процессов, определяемых формулами (3.4). Характер колебательного процесса, который описывается уравнением (3.3), изображен на рис. 9.

Этот пример наглядно показывает, насколько далеко от истины нас может увести рассуждение «по аналогии с системами, имеюшими постоянные параметры». Несмотря на то, что возвращающая сила маятника всегда отрицательна, т. е. всегда направлена против отклонения $x$ в сторону положения равно-

Рис. 9. весия, амплитуда колєбаний маятника (величина, пропорциональная $\sqrt{t}$ ) неограниченно возрастает.
Если мы введем понятие мгновенной частоты
\[
\omega=\frac{\sqrt{3} \ln t}{2 t}
\]

то увидим, что частота $\omega$ с течением времени уменьшается и стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$, а амплитуда неограниченно увеличивается.