Условимся рассматривать уравнения вида
\[
\ddot{y}+\left[\lambda^{2} a(t)+b(t)\right] y=0 .
\]
Мы видели, что к рассмотрению уравнения (7.5) сводится целый ряд важных случаев. Например, уравнение
\[
\ddot{y}+\left[\lambda^{2} a+\lambda b\right] y=0
\]
приводится к виду (7.5) заменой $t=\tau / \sqrt{\lambda}$ и $\lambda=\lambda_{1}^{2}$.
*) Н. Н. Моисе ев, О приближенном интегрировании линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Ученые записки Ростовского университета, т. XVIII, в. 3 (1953).
**) А. А. Дородницын, Асимптотические законы распределения собственных значений для. некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. УМН, т. VII, в. 6 (1952).
***) И. М. Р а п п о порт, О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Изд. АН УССР, Киев, 1954.
****) Langer R., The asymptotic solution of ordinary linear differential equations of the second order with special reference to a turning point, Trans. Amer. Math. Soc., 67 (1949).
Введем в рассмотрение функцию $\Phi(x)$, удовлетворяющую уравнению
\[
\frac{d^{2} \Phi}{d x^{2}}+f(x) \Phi=0
\]
Уравнение (7.6) условимся называть эталонным уравнением. Функция $f(x)$ такова, что интегралы системы могут быть выписаны через известные функции. Во всех тех случаях, которые уже рассматривались в этой главе, эталонным уравнением было такое:
\[
\frac{d^{2} \Phi}{d x^{2}}+\Phi=0
\]
Решение эталонного уравнения будем считать известным. Следуя общей схеме, решение уравнения (7.5) ищем в виде
\[
y=\Phi(x(t)) z(t, \lambda),
\]
где $\Phi(x)$ – какое-либо из частных решений эталонного уравнения (7.6). Функция $x(t)$ нам заранее неизвестна. В тех случаях, которые уже были рассмотрены, роль $x(t)$ играла функция $i \int_{0}^{t} \mu d t$, выбором которой мы компенсировали члены, содержащие старшие степени параметра $\lambda$.
Подставив выражение (7.8) в уравнение (7.5), мы получим равнение относительно функции $z(t, \lambda)$
\[
\ddot{z} \Phi+2 \dot{z} \Phi_{x} \dot{x}+z\left[\Phi_{x x} \dot{x}^{2}+\Phi_{x} \ddot{x}+\left(\lambda^{2} a+b\right) \Phi\right]=0 .
\]
Принимая во внимание, что функция $\Phi(x)$ удовлетворяет уравнению (7.6), получим
\[
\ddot{z} \Phi+2 \dot{z} \Phi_{x} \dot{x}+z\left\{\left[-\dot{x}^{2} f(x)+\lambda^{2} a(t)\right] \Phi+\Phi_{x} \ddot{x}+b \Phi\right\}=0 .
\]
Мы скомпенсируем члены порядка $\lambda^{2}$, если выберем функцию $x(t)$ таким образом, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль, т. е.
\[
\frac{d x}{d t} \sqrt{f(x)}=\lambda \sqrt{a(t)}
\]
Уравнение (7.10) в том случае, когда $f \equiv 1$ переходит в уравнение $\dot{x}=\lambda \sqrt{a}$. Полагая $x=i \lambda \int_{0}^{t} \mu d t$ для $\mu(t)$, получим уравнение $\mu+i \sqrt{a}=0$, которое мы называли характеристическим. На этом основании уравнение (7.10) также условимся называть характеристическим.
Уравнение (7.10) в общем случае – это некоторое нелинейное уравнение относительно неизвестной функции $x(t)$. Предположим, что нам удалось его решить в получить решение в виде
\[
x(t)=s^{s} \psi(t),
\]
тогда уравнение (7.9) можно будет переписать в форме
\[
\ddot{z} \Phi+2 \dot{z} \Phi_{x} \lambda^{s} \dot{\psi}+z\left[\Phi_{x} \lambda^{s} \ddot{\psi}+b \Phi\right]=0 .
\]
Решение уравнения (7.11) естественно попытаться разыскать в виде ряда, расположенного по обратным степеням величины $\lambda^{s}$
\[
z=z_{0}(t)+\lambda^{-s} z_{1}(t)+\lambda^{-2 s} z_{2}(t)+\ldots
\]
Подставляя этот ряд в уравнение (7.11), мы получим следующие уравнения для определения функций $z_{0}, z_{1}, \ldots$ :
\[
\begin{array}{l}
2 \dot{\psi} \dot{z}_{0}+z_{0} \ddot{\psi}=0, \\
2 \ddot{\psi} \dot{z}_{1}+z_{1} \ddot{\psi}=-\frac{\ddot{z}_{0} \Phi+b z_{0}}{\Phi_{x}}
\end{array}
\]
и т. д.
Решение уравнения (7.13) может быть получено в явном виде
\[
z_{0}=\frac{1}{\sqrt{\dot{\psi}}} .
\]
Решения уравнения для $z_{1}, z_{2}$ и т. д. могут быть представлены в форме квадратур.
Обозначим через $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ частные решения уравнения (7.6). Тогда выражение
\[
\begin{aligned}
y(t, \lambda)=C_{1} \Phi_{1}\left(\lambda^{s} \Psi(t)\right)[ & \left.z_{0}^{(1)}+\lambda^{-s} z_{1}^{(1)}+\ldots\right]+ \\
& +C_{2} \Phi_{2}\left(\lambda^{s} \psi(t)\right)\left[z_{0}^{(2)}+\lambda^{-s} z_{1}^{(2)}+\ldots\right],
\end{aligned}
\]
где функция $z_{i}^{(1)}(t)$ и $z_{i}^{(2)}(t)$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям (7.13) и (7.14) при условии, что $\Phi \equiv \Phi_{1}$ и $\Phi \equiv \Phi_{2}$ соответственно, дает формальное представление для общего решения уравнения (7.5).
В общем случае ряд (7.16) не только не является сходящимся, но он и не асимптотический. Члены этого ряда вообще могут не существовать. Причина этого обстоятельства состоит в том, что в качестве эталонного уравнения мы приняли произвольное уравнение второго порядка. Естественно предположить, что изложенная процедура имеет какой-то смысл лишь в том случае, когда решения эталонного уравнения в некотором смысле «близки» к решениям изучаемых. Так обстояло дело в тех параграфах этой главы, когда изучались уравнения, близкие к уравнениям с постоянными коэффициентами.
