Во всех рассуждениях, которые были приведены, основным предположением было предположение об аналитичности правых частей уравнения (5.1) по параметру $\varepsilon$ и функции $x$.

Последнее предположение очень существенно. Теорема Пуанкаре перестает быть верной для уравнений (5.1), если параметр $\varepsilon$ входит в ее правую часть неаналитически. Покажем это обстоятельство на примере. Рассмотрим уравнение второго порядка
\[
\ddot{x}=\frac{\varepsilon+1}{\varepsilon} \dot{x}-\frac{x}{\varepsilon}
\]

или
\[
\varepsilon \ddot{x}=(\varepsilon+1) \dot{x}-x .
\]

Порождающее уравнение будет таким:
\[
\dot{z}=z,
\]

а его общий интеграл имеет вид
\[
z=C e^{t} .
\]

Общий интеграл уравнения (5.18) легко выписать в явном виде
\[
x=C_{1} e^{t / \varepsilon}+C_{2} e^{t} .
\]

Мы видим, что функция (5.20) не может быть разложена в ряд по положительным степеням параметра $\varepsilon$ в окрестности точки $\varepsilon=0$. Более того, решение (5.20) при $\varepsilon \rightarrow 0$ вообще не стремится к решению порождающего уравнения ни для каких $t$, отличных от нуля.