Мы рассмотрели процедуру применения схемы Ван-дер-Поля для нахождения приближенных решений уравнения (3.1). Она может быть легко обобщена на широкий класс систем уравнений, близких к гамильтоновским. Одним из представителей таких систем является уравнение.
\[
\frac{d}{d t}(m(\tau) \dot{z})+f(z, \tau)=\varepsilon \varphi(z, \dot{z}, \tau) .
\]

Для этого случая повторим все рассуждения данного параграфа. Считая, как и раньше, что решение порождающего уравнения

нам известно:
\[
m \ddot{z}+f(z, \tau)=0, \tau=\text { const },
\]
\[
z=Q(x, y, \tau),
\]

сделаем замену переменного (2.5′) и (2.6′). Выписав уравнение совместности и подставив эти функции в уравнение (3.15), мы получим
\[
\begin{array}{c}
Q_{x} \dot{x}+Q_{y} \dot{y}-\omega Q_{y}=-\varepsilon Q_{\tau} \\
m \dot{x}\left(\omega_{x} Q_{y}+\omega Q_{x y}\right)+m \omega Q_{y y} \dot{y}+f(Q, \tau)= \\
=\varepsilon \varphi-\varepsilon\left\{\omega_{\tau} m Q_{y}+\omega m Q_{y \tau}+m_{\tau} \omega Q_{y}\right\} .
\end{array}
\]

Разрешая эти уравнения относительно $\dot{x}$ и $\dot{y}$ и используя выражения для $\Delta$, $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$, мы придем к следующей системе уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{m \Delta} \varphi Q_{y}-\frac{\varepsilon}{\Delta} \xi_{1}+\frac{\varepsilon}{m \Delta} m_{\tau} \omega Q_{y}^{2}, \\
\dot{y}=\omega+\frac{\varepsilon}{m \Delta} \varphi Q_{x}+\frac{\varepsilon}{\Delta} \xi_{2}-\frac{\varepsilon}{m \Delta} m_{\tau} \omega Q_{y} Q_{x} .
\end{array}\right\}
\]

Система (3.16) совершенно аналогична системе (3.4). Проводя операцию осреднения, мы получим систему укороченных уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{2 \pi m \Delta} \int_{0}^{2 \pi} \varphi Q_{y} d y-\frac{\boldsymbol{\varepsilon}}{2 \pi \Delta} \int_{0}^{2 \pi} \xi_{1} d y+\frac{\varepsilon}{2 \pi m \Delta} \int_{0}^{2 \pi} \omega Q_{y}^{2} d y, \\
\dot{y}=\omega+\frac{\varepsilon}{2 \pi m \Delta} \int_{0}^{2 \pi} \varphi Q_{x} d y+\frac{\boldsymbol{\varepsilon}}{2 \pi \Delta} \int_{0}^{2 \pi} \xi_{2} d y-\frac{\varepsilon m_{\tau}}{2 \pi m \Delta} \int_{0}^{2 \pi} \omega Q_{y} Q_{x} d y .
\end{array}\right\}
\]

Нетрудно проверить, что для уравнения (3.15) выражение
\[
I(x, \tau)=\frac{m(\tau)}{2 \pi} \int_{j}^{2 \pi} \omega(x, \tau) Q_{y}^{2} d y
\]

является также адиабатическим инвариантом. Найдем для этого
\[
\frac{d I}{d t}=\dot{x} I_{x}+\varepsilon I_{\tau} .
\]

Повторяя вычисления предыдущих пунктов этого параграфа, мы получим
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x} I_{x}=-\dot{x} m \Delta, \\
\varepsilon I_{\tau}=-\frac{\varepsilon m}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \xi_{1} d y+\frac{\varepsilon m_{\tau}}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \omega Q_{y}^{2} d y .
\end{array}\right\}
\]

Заменяя в этих выражениях величину $\dot{x}$ из системы (3.17) и подставляя величины (3.20) в равенство (3.19), получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d t}=\frac{\varepsilon}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi Q_{y} d y+\frac{\varepsilon m}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \xi_{1} d y-\frac{\varepsilon m_{\tau}}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \omega Q_{y}^{2} d y- \\
-\frac{\varepsilon m}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \xi_{1} d y+\frac{\varepsilon m_{\tau}}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \omega Q_{y}^{2} d y=\frac{\varepsilon}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi Q_{y} d y .
\end{array}
\]

Таким образом, при отсутствии внешних воздействий величина $I$, определяемая формулой (3.18), остается постоянной, если считать, что величина $x$ изменяется, следуя уравнениям (3.17).