В $§ 1$ этой главы мы установили ряд общих результатов, относящихся к системам Ляпунова. Мы установили, в частности, что для достаточно малых значений постоянной $c$ решения системы (1.8) – периодические функции $t$. Однако пока еще мы ничего не говорили о методах построения этих периодических решений. Ляпунов предложил простой и очень эффективный алгоритм построения этих решений. Алгоритм Ляпунова использует аналитичность искомых решений по параметру $c$ и дает правило построения решений в форме рядов специального вида, расположенных по степеням этого параметра.
Итак, на основании теоремы, доказанной в § 1 , решение системы уравнений (1.8) можно искать в виде
\[
x(t)=\sum_{k=1}^{\infty} c^{k} x_{k}(t), \quad y(t)=\sum_{k=1}^{\infty} c^{k} y_{k}(t) .
\]
По доказанному для достаточно малых значений $|c|$ ряды (3.1) сходятся и определяют решение системы (1.8). Однако использовать решения в форме (3.1) оказывается неудобным. Поясним это обстоятельство.
Қак уже было установлено для достаточно малых значений $\mu$ (или, что то же самое, для достаточно малых значений $|c|$ ), все решения системы (1.8) – периодические периода $T(c)$. Следовательно, функции, определенные рядами (3.1), удовлетворяют соотношениям
\[
\left.\begin{array}{l}
x(t+T)=\sum_{k=1}^{\infty} c^{k} x_{k}(t+T)=\sum_{k=1}^{\infty} c^{k} x_{k}(t)=x(t), \\
y(t+T)=\sum_{k=1}^{\infty} c^{k} y_{k}(t+T)=\sum_{k=1}^{\infty} c^{k} y_{k}(t)=y(t) .
\end{array}\right\}
\]
Равенства (3.2) справедливы для любых (но достаточно малых) значений $|c|$. Однако из этого нельзя сделать заключения, что функции $x_{i}(t)$ и $y_{i}(t)$ периодические, т. е. что
\[
x_{i}(t+T)=x_{i}(t), \quad y_{i}(t+T)=y_{i}(t) .
\]
В самом деле, период $T$ в общем случае также является функцией параметра $c$. Следовательно, хотя представление (3.1) и определяет периодическую функцию, члены этих рядов периодическими функциями в общем случае не являются.
Для пояснения рассмотрим пример системы
\[
\dot{x}=-y, \quad \dot{y}=x+x^{3} .
\]
Подставляя в эту систему ряды (3.1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $c$, получаем следующие системы уравнений для определения функций $x_{i}$ и $y_{i}$ :
\[
\begin{array}{ll}
\dot{x}_{1}=-y_{1}, & \dot{y}_{1}=x_{1} ; \\
\dot{x}_{2}=-y_{2}, & \dot{y}_{2}=x_{2} ; \\
\dot{x}_{3}=-y_{3}, & \dot{y}_{3}=x_{3}+x_{1}^{3}
\end{array}
\]
ит. д.
Начальными условиями для системы (3.3) будут условия (1.13). На этом основании начальные условия для системы (3.4), (3.5), (3.6) мы можем принять в виде
Условия (3.7) единственным образом определяют функции $x_{1}$, $x_{2}, y_{1}$ и $y_{2}$
\[
x_{1}=\cos t, y_{1}=\sin t, x_{2}=0, y_{2}=0 .
\]
Перепишем теперь систему (3.6) с учетом (3.8)
\[
\dot{x}_{3}=-y_{3}, \quad \dot{y}_{3}=x_{3}+\cos ^{3} t .
\]
Исключая из (3.9) функцию $y_{3}$, мы придем к следующему уравнению второго порядка:
\[
\ddot{x}_{3}+x_{3}=\cos ^{3} t
\]
или, заменяя $\cos ^{3} t$ его разложением по косинусам кратных дуг,
\[
\ddot{x}_{3}+x_{3}=\frac{3}{4} \cos t+\frac{1}{4} \cos 3 t .
\]
Общее решение системы (3.10) будет
\[
x_{3}=A \cos t+B \sin t+\frac{3}{8} t \sin t-\frac{1}{9} \cos 3 t .
\]
Здесь постоянные $A$ и $B$ должны быть выбраны так, чтобы удовлетворить условиям (3.7).
Итак, мы видим, что функция $x_{3}$ содержит вековое слагаемое $t \sin t$ и, следовательно, не является периодической. Легко
убедиться, что и последующие члены рядов (3.1) будут также содержать члены вида $t^{n} \cos ^{\sin } t$.
Таким образом, построение решения в форме рядов (3.1) приводит к тому, что периодические функции $x(t)$ и $y(t)$ представляются в виде рядов по непериодическим функциям. Такое представление неудобно во многих отношениях и не может быть использовано в прикладных целях. В самом деле, на практике мы не имеем возможности оперировать с бесконечными рядами и вынуждены заменять их конечными отрезками. Но эти конечные отрезки не будут периодическими функциями и, следовательно, даже приближенно не будут содержать необходимой информации, такой, например, как зависимость периода $T$ от «амплитуды» $c$.
