Особенно простой вид приоб́ретают выражения для определения членов разложений (2.24), (2.25), если матрица $\left\|a_{i j}^{(1)}\right\|$ диагональная:
\[
\left\|a_{i j}^{(1)}\right\|=\left\|\begin{array}{cc}
a_{11}^{(1)} & 0 \\
0 & a_{22}^{(1)}
\end{array}\right\| \text {. }
\]

Тогда из (2.26) следует, что либо $\mu=-a_{11}^{(1)}$, либо $\mu=-a_{22}^{(1)}$. Пусть, например, имеет место первый случай, тогда сразу находим $z_{2}^{(0)}=0$, и система (2.27) принимает следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
0=-\frac{d z_{1}^{(0)}}{d t}-a_{11}^{(0)} z_{1}^{(0)}, \\
\left(a_{22}^{(1)}-a_{11}^{(1)}\right) z_{2}^{(1)}=-a_{21}^{(0)} z_{1}^{(0)} .
\end{array}
\]

Из первого уравнения этой системы находим $z_{1}^{(0)}$ :
\[
z_{1}^{(0)}=C \exp \left\{-\int_{0}^{t} a_{11}^{(0)} d t\right\},
\]

из второго уравнения *) определяем $z_{2}^{(0)}$ :
\[
z_{2}^{(0)}=\frac{a_{21}^{(0)} z_{1}^{(0)}}{a_{11}^{(1)}-a_{22}^{(1)}} .
\]

Так как всякое уравнение второго порядка может быть сведено к системе двух уравнений первого порядка, то формулы, полученные в начале параграфа, как частный случай следуют из
*) Напомним, что по условию корни характеристического уравнения различны для всех значений $t$ из исследуемого промежутка времени и в нуль не обращаются. Следовательно, написанное выражеңне имеет смысл для любого $t \in[0, T]$.

формул, установленных в предыдущем пункте. Покажем это на простейшем примере.
Уравнение
\[
\ddot{y}+\lambda^{2} \omega^{2} y=0
\]

эквивалентно системе
\[
\dot{x}+\lambda \omega^{2} y=0, \quad \dot{y}-\lambda x=0 .
\]

Следовательно, характеристическое уравнение этой системы такое:
\[
\left|\begin{array}{rc}
\mu & \omega^{2} \\
-1 & \mu
\end{array}\right|=0
\]

Положим для определенности $\mu=\mu_{1}=i_{\omega}$ и выпишем систему (2.26)
\[
\begin{array}{l}
i \omega z_{1}^{(0)}+\omega^{2} z_{2}^{(0)}=0, \\
-z_{1}^{(0)}+i \omega z_{2}^{(0)}=0 .
\end{array}
\]

Далее,
\[
z_{2}^{(0)}=k z_{1}^{(0)}, \quad k=-\frac{i}{\omega} .
\]

Для определения функции $z_{1}^{(0)}$, согласно общей схеме, следует определить функцию
\[
C=\frac{a_{11}^{(0)}+\mu}{a_{21}}=-i \omega .
\]

Функция $F_{0}$ в уравнении (2.31) имеет вид $F_{0}=-\frac{\dot{\omega}}{\omega}$. Далее $C k=-1$. Следовательно,
\[
z_{1}^{(0)}=C_{1}^{(0)} \exp \left\{\int_{0}^{t} \frac{\dot{\omega}}{2 \omega} d t\right\}=C_{1}^{(0)} \exp \{-\ln \sqrt{\omega}\}=\frac{C_{1}^{(0)}}{\sqrt{\omega}} .
\]

Таким образом, мы снова пришли к результатам $\S 1$.