Рассмотрим теперь задачу, которая послужила толчком к созданию теории, изложенной в этом параграфе.

Рассмотрим задачу о колебании квазилинейного осциллятора, подверженного действию внешних периодических сил
\[
\xi+\omega^{2} \xi=\varepsilon \varphi(\xi, \xi)+\varepsilon f(t),
\]

где $f(t)$ – периодическая функция времени $t$.
Положим для упрощения выкладок
\[
\xi=x \cos y
\]

система (5.33), как известно (см. формулу (1.7)), окажется приведенной к следующему виду:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{\omega} \varphi(x \cos y,-x \omega \sin y) \sin y-\frac{\varepsilon}{\omega} f(t) \sin y, \\
\dot{y}=\omega-\frac{\varepsilon}{\omega x} \varphi(x \cos y,-x \omega \sin y) \cos y-\frac{\varepsilon}{\omega x} f(t) \cos y .
\end{array}\right\}
\]

Положим для упрощения выкладок
\[
f(t)=a \cos \lambda t
\]

и перепишем систему (5.34) в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{\omega} \varphi \sin y-\frac{\varepsilon a}{\omega} \cos z \sin y, \\
\dot{y}=\omega-\frac{\varepsilon}{\omega x} \varphi \cos y-\frac{\varepsilon a}{\omega} \cos z \cos y, \\
\dot{z}=\lambda .
\end{array}\right\}
\]

Главный резонанс возникает в системе (5.34) в том случае, когда $\lambda=\omega$, т. е. частота внешнего возбуждения совпадает с частотой колебаний линеаризованной системы. Рассмотрим сначала этот случай.
Итак, пусть $\lambda=\omega+\varepsilon h$. Сделаем стандартную замену
\[
y=2-\theta
\]

и составим укороченные уравнения. После очевидных выкладок получаем
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{2 \omega \pi}\left\{\int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos (z-\theta), \quad-x \omega \sin (z-(\theta)) \times\right. \\
\times \sin (z-\theta) d z-a \pi \sin \theta\} \\
\begin{aligned}
\theta=\frac{\varepsilon}{2 \pi \omega x}\left\{\int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos (z-\theta),\right. & -x \omega \sin (z-\theta)) \times \\
& \times \cos (z-\theta) d z+a \pi \cos \theta\}+\varepsilon h .
\end{aligned}
\end{array}
\]

Поскольку $z$ не входит в выражения $\varphi \sin y$ и $\varphi \cos y$, то в этих выражениях можно не делать замены $y=z-\theta$ и, следовательно, записать уравнения (5.36) так:
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{2 \pi \varepsilon}\left\{\int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y,-x \omega \sin y) \sin y d y-a \pi \sin \theta\right\}, \\
\dot{\theta}=\frac{\varepsilon}{2 \pi x \omega}\left\{\int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y,-x \omega \sin y) \cos y d y+a \pi \cos \theta\right\}+\varepsilon h .
\end{array}
\]

Для определения стационарных режимов $\tilde{x}, \tilde{\theta}$ будем иметь следующую систему тригонометрических уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\sin \theta=\frac{1}{\pi a} \int_{0}^{2 \pi} \varphi \sin y d y, \\
\cos \theta=-\frac{1}{\pi a}\left\{h+\int_{0}^{2 \pi} \varphi \cos y d y\right\} .
\end{array}\right\}
\]

Совершенно аналогично составляются уравнения в случае комбинационных резонансов.

Рассмотрим теперь два примера, иллюстрирующих применение указанной процедуры.