Метод построения асимптотических рядов, которые дают приближенное решение системы (4.1), опирался на разложение в ряд функций $X$ и $Y$, и следовательно, при его реализации предполагалось, что эти функции имеют производные нужных порядков. Окончательный результат формулировался при этом в форме интегралов. Поэтому, естественно, возникает вопрос о том, насколько необходимы введенные ограничения (поскольку они были связаны с самим методом построения решения, а не с окончательным результатом). Может быть, предположения о дифференцируемости функций $X$ и $Y$ являются лишними? Действительно, оказывается, что приближенное решение может быть построено без использования операций дифференцирования. Для этого надо только вместо разложения в ряды использовать метод последовательных приближений.
Рассмотрим снова систему. (4.1), но преобразование запишем теперь в форме
\[
\left.\begin{array}{l}
x=\bar{x}+\varepsilon u(\bar{x}, \bar{y}, \varepsilon) \\
y=\bar{y}+\varepsilon v(\bar{x}, \bar{y}, \varepsilon) .
\end{array}\right\}
\]
Точно так же уравнения для $\bar{x}$ и $\dot{\bar{y}}$, которые мы хотим получить, будем писать в форме
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{\bar{x}} & =\boldsymbol{\varepsilon} A(\bar{x}, \varepsilon), \\
\dot{\bar{y}} & =\omega(\bar{x})+\varepsilon B(\bar{x}, \varepsilon) .
\end{array}\right\}
\]
Подставим теперь выражения (4.32) и (4.31) в систему (4.1); сокращая $\varepsilon$, будем иметь
\[
\left.\begin{array}{r}
A(\bar{x}, \varepsilon)+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial \bar{x}} A(\bar{x}, \varepsilon)+\frac{\partial u}{\partial \bar{y}}(\omega(\bar{x})+\varepsilon B(\bar{x}, \bar{y}))= \\
=X(\bar{x}+\varepsilon u, \bar{y}+\varepsilon v ; \varepsilon), \\
\omega(\bar{x})+\varepsilon B(\bar{x}, \varepsilon)+\varepsilon^{2} \frac{\partial v}{\partial \bar{x}} A(\bar{x}, \varepsilon)+ \\
+\varepsilon \frac{\partial v}{\partial \bar{y}}(\omega(\bar{x})+\varepsilon B(\bar{x}, \bar{y}))=\omega(\bar{x}+\varepsilon u)+ \\
+\varepsilon \bar{Y}(\bar{x}+\varepsilon u, \bar{y}+\varepsilon v, \varepsilon) .
\end{array}\right\}
\]
Систему уравнений (4.34) будем изучать методом последовательных приближений, используя для этого следующую итерационную схему:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial u^{(k)}}{\partial \bar{y}} \omega(\bar{x})=g_{k}-A^{(k)}, \\
\frac{\partial v^{(k)}}{\partial \bar{y}} \omega(\bar{x})=h_{k}-B^{(k)},
\end{array}\right\}
\]
где
\[
\begin{array}{c}
g_{k}=X\left(\bar{x}+\varepsilon u^{(k-1)}, \bar{y}+\varepsilon v^{(k-1)}, \varepsilon\right)-\varepsilon \frac{\partial u^{(k-1)}}{\partial \bar{x}} A^{(k-1)}-\varepsilon \frac{\partial u^{(k-1)}}{\partial \bar{y}} B^{(k-1)}, \\
h_{k}=\frac{\omega\left(\bar{x}+\varepsilon u^{(k-1)}\right)-\omega(\bar{x})}{\varepsilon}+Y\left(\bar{x}+\varepsilon u^{(k-1)}, \bar{y}+\varepsilon v^{(k-1)}, \varepsilon\right)- \\
-\varepsilon \frac{\partial v^{(k-1)}}{\partial \bar{x}} A^{(k-1)}-\varepsilon \frac{\partial v^{(k-1)}}{\partial \bar{y}} B^{(k-1)} .
\end{array}
\]
Система (4.35) совершенно аналогична системе (4.5). Следовательно, повторяя рассуждения, мы снова придем к формулам (4.9).
Если функции $X$ и $Y$ достаточное количество раз дифференцируемы, то решение, которое при этом получается, отличается от решения, которое было найдено выше, только малыми более высокого порядка. Однако в отличие от метода построения, изложенного выше, данный метод имеет то преимущество, что он не требует дифференцируемости функций $X$ и $Y$ и применим, вообще говоря, к уравнениям даже с разрывными правыми частями.
