Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Использование адиабатических инвариантов позволяет в некоторых случаях получать ответы на интересующие нас вопросы, минуя интегрирование системы.
В качестве примера рассмотрим уравнение
\[
\ddot{z}+g(\varepsilon t) z=0 .
\]
В этом случае
\[
z=x \cos y, \quad \dot{z}=-\omega x \sin y,
\]
где
\[
\omega=\sqrt{g(\varepsilon t)} .
\]
Таким образом,
\[
Q(x, y)=x \cos y, \quad Q_{y}=-x \sin y .
\]
Составим выражение адиабатического инварианта
\[
I=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \omega Q_{y}^{2} d y=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \sqrt{g(\varepsilon t)} x^{2} \sin ^{2} y d y=\frac{\sqrt{g(\varepsilon l)} x^{2}}{2} .
\]
На основании сказанного выше мы имеем $I=I_{0}=$ const. Таким образом, если ставится вопрос об исследовании зависимости амплитуды $x$ от времени, то из (3.10) мы сразу находим
\[
x=\frac{\text { const }}{\sqrt[4]{g(\varepsilon t)}} .
\]
Этот результат может быть получен разными методами, но применение теории адиабатических инвариантов позволяет его получить, по-видимому, наиболее простым способом.
