Использование метода Ван-дер-Поля для исследования уравнения Дюффинга нас привело к результатам, которые мсгут быть получены методом Ляпунова. Однако метод Ляпунова применим только к тем задачам, в которых правые части уравнений – аналитические
Рис. 20.
Рис. 21 .
функции. Метод Ван-дер-Поля применим к уравнениям более общего типа. Для того чтобы это показать, рассмотрим один пример, в котором возмущающая сила $\varphi$ не является аналитической.
Рассмотрим маятник, описываемый уравнением (1.1); в котором функция $\varphi(z, \dot{z})=\varphi(z)$ имеет вид, изображенный на рис. 20.
Возвращающая сила – функция $F(z)=\omega^{2} z-\varepsilon \varphi(z)$ – изображена на рис. 21. Составим для этой системы укороченные уравнения Ван-дер-Поля. Так как система консервативна, то
\[
\overline{\varphi_{1}(x)}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \varphi(x \cos y) \sin y d y=0 .
\]
Следовательно, амплитуда $x \equiv$ const.
Вычислим далее
\[
\bar{\varphi}_{2}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \varphi(x \cos y) \cos y d y .
\]
Рассмотрим подробнее функцию
\[
\varphi^{*}(y)=\varphi(x \cos y), \quad x=\text { const. }
\]
Предположим сначала, что амплитуды, которые нас интересуют, достаточно малы $x<d$. Тогда, как это видно из рис. $20, \varphi^{*}(y)=$ $=0$ для любых $y$, поскольку в этом случае $|z|=x|\cos y| \leqslant x<d$. Следовательно, на колебания с малыми амплитудами возмущающая сила $\varphi$ не будет оказывать влияния, и колебания нашего маятника будут совпадать с обычными линейными колебаниями с постоянной частотой $\dot{y}=\omega$.
Совсем иначе будет обстоять дело для колебаний с достаточно большими амплитудами $x>d$.
Қак это видно из рис. 22, функция $\varphi^{*}(y)$ определяется следующими соотношениями:
\[
\begin{array}{ll}
y \in\left(-\pi, y_{1}\right) & \varphi^{*}=d+x \cos y, \\
y \in\left(y_{1}, y_{2}\right) & \varphi^{*}=0, \\
y \in\left(y_{2}, y_{3}\right) & \varphi^{*}=x \cos y-d, \\
y \in\left(y_{3}, y_{4}\right) & \varphi^{*}=0, \\
y \in\left(y_{4}, \pi\right) & \varphi^{*}=d+x \cos y .
\end{array}
\]
\[
\text { Рис. } 22 .
\]
Здесь значения аргумента $y_{i}$ такие:
\[
\begin{array}{ll}
y_{1}=\arccos \left(-\frac{d}{x}\right), & y_{1} \in\left(-\pi,-\frac{1}{2} \pi\right) ; \\
y_{2}=\arccos \left(\frac{d}{x}\right), & y_{2} \in\left(-\frac{1}{2} \pi, 0\right) ; \\
y_{3}=\arccos \left(\frac{d}{x}\right), & y_{3} \in\left(0, \frac{1}{2} \pi\right) ; \\
y_{4}=\arccos \left(-\frac{d}{x}\right), & y_{4} \in\left(\frac{1}{2} \pi, \pi\right) .
\end{array}
\]
После того как составлено выражение для $\varphi^{*}$, легко можно вычислить $\bar{\varphi}_{2}(x)$
\[
\begin{array}{r}
\vec{\varphi}_{2}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{y_{1}}(d+x \cos y) \cos y d y+\frac{1}{2 \pi} \int_{y_{2}}^{y_{3}}(x \cos y-d) \cos y d y+ \\
+\frac{1}{2 \pi} \int_{y_{1}}^{\pi}(d+x \cos y) \cos y d y .
\end{array}
\]
Проводя вычисления, получим
\[
\begin{array}{l}
\bar{\varphi}_{2}(x)=\frac{1}{2 \pi}\left\{d\left[\sin y_{1}-\sin y_{3}+\sin y_{2}-\sin y_{1}\right]+\right. \\
+\frac{x}{2}\left[2 \pi+y_{1}+y_{3}-y_{2}-y_{4}\right]+\frac{x}{4}\left[\sin 2 y_{1}+\sin 2 y_{3}-\sin 2 y_{2}-\sin 2 y_{4}\right] .
\end{array}
\]
Обозначим $\arccos \frac{d}{x}=\alpha$; тогда
\[
y_{1}=-(\pi-\alpha), \quad y_{2}=-\alpha, \quad y_{3}=\alpha, \quad y_{4}=\pi-\alpha .
\]
Поэтому
\[
y_{1}+y_{3}-y_{2}-y_{4}=-2 \pi+4 \alpha=-2 \pi+4 \arccos \frac{d}{x} .
\]
Далее, используя выражение $y_{i}$, мы найдем, что
\[
\begin{array}{l}
\sin y_{1}=-\frac{1}{x} \sqrt{x^{2}-d^{2}}, \quad \sin y_{2}=-\frac{1}{x} \sqrt{x^{2}-d^{2}}, \\
\sin y_{3}=\frac{1}{x} \sqrt{x^{2}-d^{2}}, \quad \sin y_{4}=\frac{1}{x} \sqrt{x^{2}-d^{2}}, \\
\sin 2 y_{1}=\frac{2 d}{x^{2}} \sqrt{x^{2}-d^{2}}, \quad \sin 2 y_{2}=-\frac{2 d}{x^{2}} \sqrt{x^{2}-d^{2}}, \\
\sin 2 y_{3}=+\frac{2 d}{x^{2}} \sqrt{x^{2}-d^{2}}, \quad \sin 2 y_{4}=-\frac{2 d}{x^{2}} \sqrt{x^{2}-d^{2}} . \\
\end{array}
\]
Собирая все эти результаты, получим окончательно
\[
\bar{\varphi}_{2}(x)=\frac{1}{2 \pi}\left\{-\frac{2 d}{x^{2}} \sqrt{x^{2}-d^{2}}+2 x \arccos \frac{d}{x}\right\} .
\]
Таким образом, колебание изучаемого нелинейного осциллятора в рамках теории Ван-дер-Поля можно рассматривать как колебание гармонического маятника
\[
z=x \cos \Omega t
\]
с постоянной частотой $\Omega$. Отличие от гармонического осциллятора состоит лишь в том, что частота $\Omega$
\[
\Omega(x)=\omega-\frac{\varepsilon}{2 \pi \omega x} \bar{\varphi}_{2}(x),
\]
согласно (1.18), зависит от амплитуды $x$
\[
\Omega(x)=\left\{\begin{array}{l}
\omega \quad \text { при } \quad x \leqslant d, \\
\omega-\frac{\varepsilon}{4 \pi^{2} \omega x}\left[2 x \arccos \frac{d}{x}-\frac{2 d}{x} \sqrt{x^{2}-d^{2}}\right] \text { при } x \geqslant d .
\end{array}\right.
\]
График этой зависимости приведен на рис. 23.
Рассмотренная нами система, согласно введенному определению, является мягкой – с увеличением амплитуды частота ее колебаний уменьшается.
