Рассмотрим систему
\[
\ddot{z}=A^{*} z+u^{*},
\]

где $A$ – симметричная матрица. Не ограничивая общности, мы можем считать, что матрица $A$ имеет вид
\[
A=\lambda^{*} A_{0}^{*}+A_{1}^{*}+\ldots,
\]

где $A_{0}$ – диагональная матрица
\[
A_{0}=\left\|\begin{array}{llll}
\mu_{1}(t) & & & \\
& \mu_{2}(t) & & \\
& & \ddots & \\
& & & \mu_{n}(t)
\end{array}\right\| .
\]

Для того чтобы привести систему к виду (9.16), положим
\[
\dot{z}_{i}=y_{i} \sqrt{\lambda^{*} \mu} .
\]

Тогда $i$-е уравнение системы (9.21) примет вид
\[
\dot{y}_{i}=\sqrt{\lambda^{*} \mu_{i}} z_{i}-\frac{1}{2} \dot{\mu} \mu^{-1 / 2} y_{i}+\sum a_{i j} z_{j}+\frac{1}{\sqrt{\lambda^{*}}}(\ldots)+\ldots,
\]

где $a_{i j}$-элементы матрицы $A_{1}^{*}$.
Теперь вместо $z_{i}$ и $y_{i}$ введем новые переменные $x_{2 i}$ и $x_{2 i+1}$
\[
x_{2 i-1}=z_{i}+y_{i}, \quad x_{2 i}=z_{i}-y_{i} .
\]

Эти функции будут удовлетворять следующим уравнениям:
\[
\begin{aligned}
\dot{x}_{2 i-1} & =\sqrt{\lambda^{*} \mu_{l}} x_{2 i-1}+\ldots, \\
\dot{x}_{2 i} & =-\sqrt{\lambda^{*} \mu_{i}} x_{2 i}+\ldots
\end{aligned}
\]

Точки обозначают члены порядка $O(1), O\left(\frac{1}{\sqrt{\lambda^{*}}}\right)$ и т. д. Положим $\lambda=\sqrt{\lambda^{*}}$ и запишем систему (9.24) в виде
\[
\dot{x}_{i}=\left(\lambda A_{0}+A_{1}+\ldots\right) x,
\]

где
\[
A_{0}=\left|\begin{array}{ccccc}
\mu_{1} & & & & \\
& -\mu_{1} & & & \\
& & \mu_{2} & & \\
& & & -\mu_{2} & \\
& & & & .
\end{array}\right|
\]

Система (9.25) уже относится к изучаемому виду. Даже если все $\mu_{i}$ – простые корни характеристического уравнения матрицы $A_{0}, \pi$-система
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\lambda A_{0} \dot{x}+\lambda B_{p}, \\
\dot{p}=-\lambda \tilde{A}_{0} p
\end{array}
\]

может обладать кратными элементарными делителями. Построение асимптотических представлений решений системы (9.25) может быть приведено методами, изложенными в предыдущем параграфе. Однако для практического построения разложений решений системы типа (9.21) можно развить методы, не требующие сведения этой системы к виду (9.25).