В § 4 этой главы мы уже обсуждали применимость методов усреднения к тому случаю, когда функция $f(z)$, входящая в уравнение (7.1), не допускает разложения в ряды. Покажем на пғимере, какие результаты могут быть получены в том случае, когда функция $f(z)$ разрывна.

Пусть $f(z)$ — периодическая функция $z$ периода $2\pi$, причем
$$f(z)=\{\begin{array}{ll}+1,& z\in (0,\pi ),\\ -1,& z\in (-\pi ,0).\end{array}$$

График функции $f(z)$ изображен
Рис. 29. на рис. 29.

Так как $\overline{f}=0$, то фазовая плоскость уравнения (7.1) будет в этом случае периодическая, т. е. иметь структуру, изображенную на рис. 28.
Вычислим
$$\mathrm{\Psi }(z)={\int }_0^{z}f(z)dz=\{\begin{array}{c}z,z\in (0,\pi ),\\ -z,z\in (-\pi ,0).\end{array}$$

Следовательно,
$$\overline{\mathrm{\Psi }}=\frac{1}{2\pi }\{{\int }_0^{\pi }zdz-{\int }_{-\pi }^{0}zdz\}=\frac{\pi }{2}.$$

Далее
$$\mathrm{\Phi }(z)=\{\begin{array}{rl}\frac{z^2}{2},& z\in (0,\pi ),\\ -\frac{z^2}{2},& z\in (-\pi ,0).\end{array}$$

Теперь для этого случая состазим выражение (7.28)
$$z=\{\begin{array}{ll}\lambda t+\frac{1}{{\lambda }^2}[\frac{\pi }{2}\lambda t-\frac{{\lambda }^2{t}^2}{2}],& t\in (0,\frac{\pi }{\lambda }),\\ \lambda t+\frac{1}{{\lambda }^2}[\frac{\pi }{2}\lambda t+\frac{{\lambda }^2{t}^2}{2}],& t\in (-\frac{\pi }{\lambda },0).\end{array}$$

Движения, которые определяюгся формулами (7.32), изображены на рис. 30 , где
$$\lambda =\mathrm{tg}\phi .$$