В § 4 этой главы мы уже обсуждали применимость методов усреднения к тому случаю, когда функция $f(z)$, входящая в уравнение (7.1), не допускает разложения в ряды. Покажем на пғимере, какие результаты могут быть получены в том случае, когда функция $f(z)$ разрывна.

Пусть $f(z)$ – периодическая функция $z$ периода $2 \pi$, причем
\[
f(z)=\left\{\begin{array}{ll}
+1, & z \in(0, \pi), \\
-1, & z \in(-\pi, 0) .
\end{array}\right.
\]

График функции $f(z)$ изображен
Рис. 29. на рис. 29.

Так как $\bar{f}=0$, то фазовая плоскость уравнения (7.1) будет в этом случае периодическая, т. е. иметь структуру, изображенную на рис. 28.
Вычислим
\[
\Psi(z)=\int_{0}^{z} f(z) d z=\left\{\begin{array}{c}
z, z \in(0, \pi), \\
-z, z \in(-\pi, 0) .
\end{array}\right.
\]

Следовательно,
\[
\bar{\Psi}=\frac{1}{2 \pi}\left\{\int_{0}^{\pi} z d z-\int_{-\pi}^{0} z d z\right\}=\frac{\pi}{2} .
\]

Далее
\[
\Phi(z)=\left\{\begin{aligned}
\frac{z^{2}}{2}, & z \in(0, \pi), \\
-\frac{z^{2}}{2}, & z \in(-\pi, 0) .
\end{aligned}\right.
\]

Теперь для этого случая состазим выражение (7.28)
\[
z=\left\{\begin{array}{ll}
\lambda t+\frac{1}{\lambda^{2}}\left[\frac{\pi}{2} \lambda t-\frac{\lambda^{2} t^{2}}{2}\right], & t \in\left(0, \frac{\pi}{\lambda}\right), \\
\lambda t+\frac{1}{\lambda^{2}}\left[\frac{\pi}{2} \lambda t+\frac{\lambda^{2} t^{2}}{2}\right], & t \in\left(-\frac{\pi}{\lambda}, 0\right) .
\end{array}\right.
\]

Движения, которые определяюгся формулами (7.32), изображены на рис. 30 , где
\[
\lambda=\operatorname{tg} \varphi .
\]