Начнем изучение квазилинейных систем с наиболее простого вопроса $a$. Для этого рассмотрим систему с одной степенью свободы
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=F(t)+\varepsilon \varphi(x, \dot{x}) .
\]
Функцию $F(t)$ условимся брать в виде
\[
F(t)=a \cos t .
\]
Не представляет никакого труда рассмотреть и общий случай. Излагаемый метод позволяет функцию $\varphi$ также считать периодической функцией времени $t$ периода $2 \pi$
\[
\varphi=\varphi(x, \dot{x}, t) .
\]
Будем рассматривать решения уравнения (7:9 ), которые при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходят в решения порождающего уравнения
\[
\ddot{x}=-\omega^{2} x+a \cos t
\]
периода $2 \pi$.
Положим
\[
x=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon^{2} x_{2}+\ldots
\]
Подставляя ряд (7.11) в уравнение (7.9′), раскладывая функцию $\varphi$ в ряд Тейлора по степеням параметра $\varepsilon$
\[
\varepsilon \varphi(x, \dot{x})=\varepsilon \varphi\left(x_{0}, \dot{x}_{0}\right)+\varepsilon^{2}\left[\varphi_{x} x_{1}+\varphi_{\dot{x}} \dot{x}_{1}\right]+\ldots=\varepsilon \varphi_{0}+\varepsilon^{2} \varphi_{1}+\ldots
\]
и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, мы получаем следующие уравнения для определения неизвестных функций $x_{i}(i=1,2, \ldots)$ :
\[
\left.\begin{array}{c}
\ddot{x}_{0}+\omega^{2} x_{0}=a \cos t, \\
\ddot{x}_{1}+\omega^{2} x_{1}=\varphi_{0}, \\
. . . . . . \\
\ddot{x}_{k}+\omega^{2} x_{k}=\varphi_{k-1}, \\
. . . . . .
\end{array}\right\}
\]
Легко убедиться в том, что величина, стоящая в правой части уравнения номера $k$, зависит от функций $x_{i}(t)$, причем $i=$ $=1,2, \ldots, k-1$. Следовательно, решая последовательно уравнения (7.12). мы можем определить любой член разложения (7.11).
Так как по условию $\omega
eq 1$, то единственное периодическое решение периола $2 \pi$. которое допускает первое из уравнений системы (7.12), имеет вид
\[
x_{0}=\frac{a}{\omega^{2}-1} \cos t .
\]
Подставляя функцию (7.13) в выражение для $\varphi_{0}$, убеждаемся, что функция $\varphi_{0}$ будет периодической периода $2 \pi$ и, следовательно, представима в виде ряда Фурье
\[
\varphi_{0}=\varphi_{00}+\sum_{k=1}^{\infty} \varphi_{0 k} \cos k t+\sum_{k=1}^{\infty} \varphi_{0 k}^{*} \sin k t .
\]
Следовательно, второе уравнение системы (7.12) также допускает решение периода $2 \pi$
\[
x_{1}=\frac{\varphi_{00}}{\omega^{2}}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varphi_{0 k}}{\omega^{2}-k^{2}} \cos k t+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varphi_{0 k}^{*}}{\omega^{2}-k^{2}} \sin k t,
\]
поскольку $\omega^{2}
eq k(k=1,2, \ldots)$.
Решения остальных уравнений системы (7.12) могут быть получены по этой же схеме.
Итак, решение уравнения (7.9′) может быть представлено в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
x=\frac{a}{\omega^{2}-1} \cos t+\varepsilon\left\{\frac{\varphi_{00}}{\omega^{2}}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varphi_{0 k}}{\omega^{2}-k^{2}} \cos k t+\right. \\
\left.+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varphi_{0 k}^{*}}{\omega^{2}-k^{2}} \sin k t\right\}+\varepsilon^{2}\{\ldots\}+\ldots
\end{array}
\]
Это решение удобно переписать в форме
где
\[
x=A_{0}+A_{1} \cos \left(t+\vartheta_{1}\right)+A_{2} \cos 2\left(t+\vartheta_{2}\right)+\ldots,
\]
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{0}=\frac{1}{\omega^{2}}\left\{\varepsilon \varphi_{00}+\varepsilon^{2} \varphi_{10}+\ldots\right\}, \\
A_{1}=\frac{1}{\omega^{2}-1}\left\{a+\varepsilon \varphi_{01}+\varepsilon^{2}(\ldots)+\ldots\right\}, \\
\left.A_{k}=\frac{1}{\omega^{2}-k^{2}}\left\{\varepsilon \sqrt{\varphi_{0 k}^{2}+\varphi_{0 k}^{* 2}}+\varepsilon^{2}(\ldots)+\ldots\right\},\right\}, \\
\vartheta_{1}=\operatorname{arctg}\left\{\varepsilon \frac{\varphi_{01}^{*}}{a}+\varepsilon^{2}(\ldots)+\ldots\right\}, \\
\vartheta_{k}=\operatorname{arctg}\left\{\frac{\varphi_{0 k}^{*}}{\varphi_{0 k}}+\varepsilon(\ldots)+\ldots\right\} .
\end{array}\right\}
\]
Формулы (7.15′) показывают, что в нерезонансном случае все отличие вынужденных колебаний квазилинейной системы от колебаний линейной системы, вызванных той же силой, сводится к следующему:
1. Величина амплитуды $A_{1}$ основной гармоники изменяется на величины порядка $0(\varepsilon)$.
2. Возникает разность фаз $\vartheta_{1}$ вынужденных колебаний по сравнению с фазой внешней силы. Этот сдвиг также имеет порядок $0(\varepsilon)$.
3. Имеет место систематическое смещение $A_{0}$, т. е. колебания происходят около положения, смещенного относительно положения равновесия. Это смещение также имеет первый порядок малости.
4. Появляются высшие гармоники, амплитуда которых имеет порядок $0(\varepsilon)$.
Итак, мы видим, что в нерезонансном случае малая нелинейность вносит в характер колебаний системы лишь малые количественные изменения. Поэтому в рассматриваемом случае линейная трактовка задачи приводит только к небольшим количественным ошибкам: качественный характер квазилинейных колебаний будет таким же, как и в линейном случае. На первый вопрос, поставленный в предыдущем пункте, мы ответили полностью.
Мы рассмотрели колебания в системе с одной степенью свободы. Однако легко убедиться в том, что изложенная схема может быть использована для исс.тедования колебаний систем произвольного числа степеней свободы, если только среди корней характеристического уравнения нет целых чисел.
