Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Теория, элементы которой были изложены в этой главе, возникла в конце XIX века. В настоящее время ее аппарат разработан весьма детально, что псзволяет решать разнообразные задачи, в том числе и широкий круг задач, возникающих в прикладной науке и технике. Несмотря на то, что в последние десятилетия появились новые подходы и более сильные методы. значение изложенной теории достаточно велико: можно указать целый ряд задач, для которых методы Ляпунова – Пуанкаре являются и до сих пор едва ли не единственным средством получения эффективного решения. Тем не менее рамки теории Ляпунова – Пуанкаре весьма ограничены. Эта теория ставит себе одну задачу – задачу отыскания периодических решений. При всей ее важности эта задача является все-таки очень специальной. Тем не менее теория периодических решений имеет внутри себя еще очень много проблем (в этой книге рассмотрены толь-
—————————————————————-
0026_fiz_kol_vol_book17_no_photo_page-0140.jpg.txt
§]
ЗАҚЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
139
ко самые простые задачи). И все время появляются исследования, которые обогащают теорию Ляпунова – Пуанкаре, не выводя ее из круга первоначальных идей. Одновременно делаются попытки распространить идеологию и методы теории Ляпунөва – Пуанкаре на более широкий круг задач и прежде всего на отыскание почти периодических решений. Однако целый ряд очень важных задач теории колебаний и теории нелинейных дифференциальных уравнений остается вне пределов ее интересов. Среди таких задач, имеющих особое практическое значение, можно указать, например, задачу определения закона изменения амплитуды колебаний под действием внешних возмущений. Эта и другие задачи отыскания «переходных режимов» в колебательных системах настоятельно требуют развития более универсальной теории – аппарата, который одновременно с отысканием периодических режимсв был бы приспособлен для изучения переходных режимов в нелинейных системах.
Аппарат теории Ляпунова – Пуанкаре основан на использовании свойств аналитичности правых частей изучаемых дифференциальных уравнений. Питательной средой, в которой создавалась эта теория в XIX веке, были разнообразные проблемы: небесной механики, в которых предположения об аналитичности были естественными. Однако в теории колебаний различных инженерных конструкций, при изучении сложных физических явлений и во многих других случаях предположение об аналитичности становится весьма обременительным. В рамках теории малого параметра делаются попытки отказаться от этого условия. Некоторые из результатов подобного рода приведены в книге И. Г. Малкина, которую мы неоднократно цитировали. Вместо разложения в ряды в этом случае предполагаются некоторые специальные способы использования последовательных приближений. Однако вычислительные схемы, которые здесь возникают, оказываются весьма сложными, и большого практического значения подобные исследования, по-видимому, не получили: Таким образом, «универсальная теория» должна удовлетворять еще одному требованию. Она должна распространяться на широкий класс дифференциальных уравнений, не стесненный требованием аналитичности.
Одним из возможных претендентов на роль такой «универ-: сальной теории» является теория, использующая идеи усредне-: ний. Эта теория приобретает все большую и большую популяр: ность, и сфера ее использования все более и более расширяется. Ее изложению посвящена следующая глава.
