Теория, элементы которой были изложены в этой главе, возникла в конце XIX века. В настоящее время ее аппарат разработан весьма детально, что псзволяет решать разнообразные задачи, в том числе и широкий круг задач, возникающих в прикладной науке и технике. Несмотря на то, что в последние десятилетия появились новые подходы и более сильные методы. значение изложенной теории достаточно велико: можно указать целый ряд задач, для которых методы Ляпунова — Пуанкаре являются и до сих пор едва ли не единственным средством получения эффективного решения. Тем не менее рамки теории Ляпунова — Пуанкаре весьма ограничены. Эта теория ставит себе одну задачу — задачу отыскания периодических решений. При всей ее важности эта задача является все-таки очень специальной. Тем не менее теория периодических решений имеет внутри себя еще очень много проблем (в этой книге рассмотрены толь-

—————————————————————-
0026_fiz_kol_vol_book17_no_photo_page-0140.jpg.txt

§]
ЗАҚЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
139
ко самые простые задачи). И все время появляются исследования, которые обогащают теорию Ляпунова — Пуанкаре, не выводя ее из круга первоначальных идей. Одновременно делаются попытки распространить идеологию и методы теории Ляпунөва — Пуанкаре на более широкий круг задач и прежде всего на отыскание почти периодических решений. Однако целый ряд очень важных задач теории колебаний и теории нелинейных дифференциальных уравнений остается вне пределов ее интересов. Среди таких задач, имеющих особое практическое значение, можно указать, например, задачу определения закона изменения амплитуды колебаний под действием внешних возмущений. Эта и другие задачи отыскания «переходных режимов» в колебательных системах настоятельно требуют развития более универсальной теории — аппарата, который одновременно с отысканием периодических режимсв был бы приспособлен для изучения переходных режимов в нелинейных системах.

Аппарат теории Ляпунова — Пуанкаре основан на использовании свойств аналитичности правых частей изучаемых дифференциальных уравнений. Питательной средой, в которой создавалась эта теория в XIX веке, были разнообразные проблемы: небесной механики, в которых предположения об аналитичности были естественными. Однако в теории колебаний различных инженерных конструкций, при изучении сложных физических явлений и во многих других случаях предположение об аналитичности становится весьма обременительным. В рамках теории малого параметра делаются попытки отказаться от этого условия. Некоторые из результатов подобного рода приведены в книге И. Г. Малкина, которую мы неоднократно цитировали. Вместо разложения в ряды в этом случае предполагаются некоторые специальные способы использования последовательных приближений. Однако вычислительные схемы, которые здесь возникают, оказываются весьма сложными, и большого практического значения подобные исследования, по-видимому, не получили: Таким образом, «универсальная теория» должна удовлетворять еще одному требованию. Она должна распространяться на широкий класс дифференциальных уравнений, не стесненный требованием аналитичности.

Одним из возможных претендентов на роль такой «универ-: сальной теории» является теория, использующая идеи усредне-: ний. Эта теория приобретает все большую и большую популяр: ность, и сфера ее использования все более и более расширяется. Ее изложению посвящена следующая глава.