Величину
\[
h^{*}=k l \omega(x)+\sin \lambda(x)
\]
обычно называют расстройкой. Условимся называть окрестностью резонанса такое соотношение параметров, при котором величина расстройки $h^{*}$ мала: $h^{*}=\varepsilon h$. В окрестности резонанса также может быть построен процесс асимптотического интегрирования. Однако в этом случае асимптотика будет иной, нежели та, которая дается формулами (5.12) и (5.13).
Итак, будем предполагать, что мы изучаем движение в окрестности точки $x=x^{*}$, где $x^{*}-$ корень уравнения (5.14), которое мы можем писать в форме
\[
\omega\left(x^{*}\right)=\frac{s m}{k l} \lambda\left(x^{*}\right),
\]
поскольку взаимно простые целые числа $s$ и $k$ могут быть и положительными и отрицательными. Изучение резонансных явлений начнем с анализа главного резонанса $s=k=1$ при дополнительном условии, что частоты $\omega$ и $\lambda$ не зависят от «амплитуды» $x$. Тогда положим
\[
\lambda=\frac{l \omega}{m}+\varepsilon \frac{h}{m}
\]
и выпишем исходную систему уравнений в виде
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x} & =\varepsilon X(x, y, z), \\
\dot{y} & =\omega+\varepsilon Y(x, y, z), \\
\dot{z} & =\frac{l \omega}{m}+\varepsilon\left\{Z(x, y, z)+\frac{h}{m}\right\},
\end{array}\right\}
\]
где $X$ и $Y$ являются периодическими функциями $y$ и $z$ периода $2 \pi / l$ и $2 \pi / m$ соответственно.
В рассматриваемом случае частоты $\omega$ и $\lambda$ удовлетворяют уравнению (5.15) тождественно по $x$, т. е. резонансная сутуация имеет место для любой «амплитуды» $x$. Прямое использование алгоритма асимптотического интегрирования, изложенного в предыдущем пункте, смысла не имеет. Поэтому вместо переменной $y$ введем новое переменное $\theta$ (сдвиг фазы)
\[
\theta=\frac{m}{l} z-y .
\]
Оно будет удовлетворять уравнению
\[
\theta=-\varepsilon \vartheta^{*}\left(x, \frac{m}{l} z-\theta, z\right),
\]
где $\theta^{*}$ имеет вид
\[
\theta^{*}(x, \theta, z)=\varepsilon\left\{\left[Z\left(x, \frac{m}{l} z-\theta, z\right)+\frac{h}{m}\right] \frac{m}{l}-Y\left(x, \frac{m}{l} z-\theta, z\right)\right\} .
\]
Остальные уравнения системы (5.16) мы перепишем так:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\varepsilon X\left(x, \frac{m}{l} z-\theta, z\right), \\
\dot{z}=\frac{l \omega}{m}+\varepsilon\left\{Z\left(x, \frac{m}{l} z-\theta, z\right)+\frac{h}{m}\right\} .
\end{array}
\]
Итак, систему уравнений (5.16) можно теперь представить в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x} & =\varepsilon X^{*}(x, \theta, z), \\
\dot{\theta} & =\varepsilon \theta^{*}(x, \theta, z), \\
\dot{z} & =\frac{l \omega}{m}+\varepsilon\left\{Z^{*}(x, \theta, z)-\frac{h}{m}\right\}
\end{array}\right\}
\]
где смысл обозначений $X^{*}, \vartheta^{*}$ и $Z^{*}$ совершенно очевиден. Функции $X^{*}, \vartheta^{*}$ и $Z^{*}$ являются периодическими по $z$. Переменная $z$ входит в правые части системы (5.18) двумя способами. Во-первых, сэмостоятельно и, во-вторых, в комбинации $(m / l) z-\theta$. Правые части системы (5.18) будут периодическими функциями переменной $z$, выступающей в своем первом качестве, периода $T_{z}=2 \pi / \mathrm{m}$, а также периодическими функциями комбинации $(\mathrm{m} / \mathrm{l}) z-\theta$ периода $T_{y}=2 \pi / l$. Следовательно, они являются периодическими функциями переменной $z$, выступающей во втором качестве, периода $T_{z}^{\prime}=\frac{l}{m} T_{y}=\frac{2 \pi}{m}$. Итак, оказывается, что функции $X^{*}, \vartheta^{*}$ и $Z^{*}$, рассматриваемые как функции переменной $z$, имеют период $2 \pi / m$.
Скалярная величина $\theta$ является медленно изменяющейся переменной. Поэтому система (5.18), в отличие от системы (5.16), является системой с одной, а не двумя вращающимися фазами и, следовательно, ее изучение может быть проведено методами общей теории, изложенной в предыдущих параграфах. Если мы ограничимся изучением первого приближения, то должны выписать укороченные уравнения Ван-дер-Поля, которые имеют следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{ll}
x=\bar{x}, & \dot{\bar{x}}=\varepsilon \bar{X}^{*}(\bar{x}, \bar{\theta}), \\
\theta=\bar{\theta}, & \dot{\theta}=\varepsilon \bar{\vartheta}^{*}(\bar{x}, \bar{\theta}) .
\end{array}\right\}
\]
Для определения быстрой переменной следует вычислить квадратуру
\[
z=z_{0}+\lambda t+\varepsilon \int_{0}^{t} \bar{Z}^{*}(\bar{x}, \theta, \bar{z}) d t .
\]
Усреднение в этих формулах производится по периоду $T_{z}$, т. е.
\[
\bar{X}^{*}(x, \theta)=\frac{m}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi / m} X^{*}(x, \theta, z) d z
\]
и т. д.
Примечания. 1. Важным частным случаем рассмотренной задачи является тот, в котором $\omega=\lambda$ и $T_{z}=T_{y}$. Этот случай будет специально рассмотрен ниже. $\mathrm{K}$ нему сводится задача о главном резонансе в квазилинейных системах.
2. Движения, которые описываются уравнениями (5.19) и (5.20), называются резонансными. Среди этих движений особое значение имеют установившиеся резонансные движения. Положив $\dot{x}=\theta=0$, мы получим систему трансцендентных уравнений
\[
\bar{X}^{*}(x, \theta)=0, \quad \quad^{*}(x, \theta)=0 .
\]
Левые части этих уравнений зависят от параметра $h$ расстройки. Главное, что представляет интерес для техники, это зависимость стационарных значений $x$ и $\theta$ от значения параметра $h$.
Мы рассмотрели явление главного резонанса для того частного случая, когда частоты $\lambda$ и $\omega$ не зависят от амплитуды $x$. Основная его особенность состоит в том, что резонансная ситуация не изменяется при изменении амплитуды $x$.
