Вернемся теперь к уравнению (3.8), считая $\varphi \mid<1$. Умножим его на $\dot{x}$ и перепишем в следующем виде:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\dot{x}^{2}+x^{2}}{2}=-\varphi x \dot{x} .
\]

Проинтегрируем уравнение (4.15):
\[
\left.\frac{\dot{x}^{2}+x^{2}}{2}\right|_{0} ^{t}=-\left.\frac{\varphi x^{2}}{2}\right|_{0} ^{t}+\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \dot{\varphi} x^{2} d t
\]

или
\[
\frac{\dot{x}^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}(1+\varphi)=C+\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \dot{\varphi} x^{2} d t
\]

где
\[
C=\left(\frac{\dot{x}^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}(1+\varphi)\right)_{t=0}>0 .
\]

Так как величина $\dot{x}^{2}$ всегда неотрицательна, то из (4.16) следует, что
\[
\frac{x^{2}}{2}(1+\varphi) \leqslant C+\frac{1}{2} \int_{\dot{0}}^{t}|\dot{\varphi}| x^{2} d t .
\]

Предположим, что $\varphi(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$, тогда для достаточно большого значения $t$ будет иметь место неравенство
\[
1+\varphi \geqslant \frac{1}{2} \text {. }
\]

Следовательно, мы только усилим неравенство (4.17), если перепишем его так:
\[
\frac{x^{2}}{4} \leqslant C+\frac{4}{2} \int_{0}^{t}|\dot{\varphi}| \frac{x^{2}}{4} d t .
\]

Если в неравенстве (4.18) мы положим $x^{2} / 4=u, 2|\dot{\varphi}|=v$, то окажемся в условиях, когда может быть применена доказанная нами лемма, что дает
\[
\frac{x^{2}}{4} \leqslant C \exp \int_{0}^{t} 2|\dot{\varphi}| d t .
\]

Отсюда вытекает следующий результат.
Теорема. Для ограниченности решения уравнения (3.8) достаточно, чтобы интеграл
\[
\int_{0}^{t}|\dot{\varphi}| d t
\]

сходился.