Рассмотрим тот частный случай, когда система (2.1) имеет вид
\[
\dot{x}=-y+F_{1}(t), \quad \dot{y}=x+F_{2}(t) .
\]

Система (2.10) сводится к уравнению колебаний математического маятника под действием периодической внешней силы
\[
\ddot{x}+x=F^{*}(t),
\]

где
\[
F^{*}=\dot{F}_{1}+F_{2} \text {. }
\]

Линейно независимые решения системы (2.10) имеют вид
\[
\left.\begin{array}{ll}
x_{1}=\cos t, & x_{2}=\sin t \\
y_{1}=\sin t, & y_{2}=-\cos t .
\end{array}\right\}
\]

Вронскиан этих функций равен единице, поэтому условия будут приведены к такому виду:
\[
\left.\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi}\left(F_{1} \cos t+F_{2} \sin t\right) d t=0, \\
\int_{0}^{2 \pi}\left(F_{2} \cos t-F_{1} \sin t\right) d t=0 .
\end{array}\right\}
\]

Условие (2.12) будет играть в дальнейшем изложении особую роль.