До сих пор мы рассматривали колебательные системы
$$\ddot{z}+F(z,\dot{z})=0,$$

где функция $F(z,\dot{z})$ имела вид
$$F(z,\dot{z})={\omega }^{2}z-\epsilon \phi (z,\dot{z}).$$

Метод решения задач теории колебаний существенным образом использовал тот факт, что функция $F(z,\dot{z})$ близка к линейной. Она отличается от ${\omega }^{2}z$ только членами, порядок которых равен $O(\epsilon )$. Именно это обстсятельство служило нам оправданием для представления решения в форме $z=$ $=x\cos y$, где $x$ и $y-\omega t$ — величины, медленно меняющиеся. Задачи теории колебаний, в которых функция $F(z,\dot{z})$ имеет форму (1.31), мы условились называть квазилинейными.

Қвазилинейная трактовка задачи вполне оправдана, если речь идет о

Рис. 24. системах, движение которых происхо-
дит под действием сил, являющихся аналитическими функциями фазовых координат. Тогда функцию $F(z,\dot{z})$ всегда можно представить в виде
$$F(z,\dot{z})={\omega }^{2}z+k\dot{z}+a_{10}z\dot{z}+a_{11}{z}^2+\dots$$

Квазилинейная трактовка (т.е. возможность представить функцию $F$ в виде (1.31)) будет означать в этом случае только одно; мы ограничиваемся рассмотрением лишь малых колебаний, при дополнительном условии, что интенсивность сил, рассеивающих энергию, также мала,

Предположим теперь, что возвращающая сила имеет вид, изображенный на рис. 24 . Функция $F(z)$ не является аналитической. Следовательно, для нее не существует представления (1.32). На первый взгляд қажется бессмысленным сам вопрос о возможности изучения колебаний такой существенно нелинейной системы в рамках квазилинейной теории. С другой стороны, уравнение (1.30) и в этом случае описывает колебательный процесс. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно установить, что уравнение (1.30) допускает интеграл энергии
$$E\equiv \frac{1}{2}{\dot{z}}^2+\frac{1}{2}V(z)=\frac{1}{2}c,$$

где $c$-произвольная постоянная, а $V=2{\int }_0^{2}F(z)dz$, и построить фазовую плоскость (рис. 25). Мы видим, что фазовые
Рис. 25. траектории рассматриваемой системы замкнутые, т.е. все решения уравнения
$$\ddot{z}+F(z)=0\text{. }$$

периодические. Качественный характер решений уравнения (1.30), естественно, наводит на мысль о целесообразности аппроксимировать его решения выражением
$$z=x\cos \mathrm{\Omega }t,$$

где $x$ — некоторая постоянная. Величина $\mathrm{\Omega }$ также постоянная, но она должна зависеть ог амплитуды $x$, так как система $\left({1.30}^{\prime }\right)$ не изохронна и время полного обхода изображающей точки вокруг начала координат вдоль фазовой траектории зависит от положения фазовой траекторин. Другими словами, величина $\mathrm{\Omega }$ должна считаться функцией амплитуды
$$\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }(x).$$

Таким образом, вопрос о возиожности аппроксимировать решение уравнения (1.30) выражением (1.33) свелся к возможности определить надлежащим образом функцию (1.34).
Функция (1.33) удовлетворяет уравнению
$$\ddot{z}+{\mathrm{\Omega }}^{2}z=0,$$

описывающему колебательные движения под действием возвращающей силы
$${\mathrm{\Omega }}^2(x)z={\mathrm{\Omega }}^2(x)x\cos \mathrm{\Omega }(x)t.$$

Функция $F(z)$ в этом случае имеет вид $F(x\cos \mathrm{\Omega }t)$, т. е. является четной периодической функцией времени и может быть разложена в ряд Фурье
$$F(z)=a_1(x)\cos \mathrm{\Omega }t+a_2(x)\cos 2\mathrm{\Omega }t+\dots ,$$

где
$$a_1=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }F(x\cos y)\cos ydy.$$

Положим теперь
$$F(z)={\mathrm{\Omega }}^2(x)z-\epsilon \phi (z)$$

и подберем функцию $\mathrm{\Omega }(x)$ так, чтобы решение укороченных уравнений для случая, когда функция $F(z)$ имеет вид (1.37), совпадало бы с решением уравнения (1.35). Легко видеть, что для этого достаточно принять
$${\mathrm{\Omega }}^2(x)\cdot x=a_1(x);$$

откуда
$$\mathrm{\Omega }(x)=\sqrt{\frac{a_1(x)}{x}}.$$

В самом деле, в этом случае
$$\epsilon \phi (z)=-[a_2(x)\cos 2y+a_3(x)\cos 3y+\dots ].$$

Следовательно,
$$\epsilon {\overline{\phi }}_2(x)=\frac{\epsilon }{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\phi (x\cos y)\cos ydy=0,$$
т. e.
$$\dot{y}=\mathrm{\Omega }(x).$$

Итак, фиксируя амплитуду $x$, мы находим частоту эквивалентных линейных колебаний по формуле
$$\mathrm{\Omega }(x)=\sqrt{\frac{1}{2\pi x}{\int }_0^{2\pi }F(x\cos y)\cos ydy}.$$

Эта формула определяет зависимость частоты колебаний от амплитуды.

Итак, метод эквивалентной линеаризации состоит в замене уравнения (1.30) линейным уравнением (1.35), где $\mathrm{\Omega }(x)$ дается формулой (1.38). Напомним, что амплитуда $x$ здесь считается заданной постоянной.

Методы эквивалентной линеаризации разработаны сейчас не только для консервативных систем. Подробное изложение этих вопросов содержится в монографии Н. Н. Боголюбова и. Ю. А. Митропольского *).
*) Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебании, Физматгиз, 1958.