До сих пор мы рассматривали колебательные системы
\[
\ddot{z}+F(z, \dot{z})=0,
\]
где функция $F(z, \dot{z})$ имела вид
\[
F(z, \dot{z})=\omega^{2} z-\varepsilon \varphi(z, \dot{z}) .
\]
Метод решения задач теории колебаний существенным образом использовал тот факт, что функция $F(z, \dot{z})$ близка к линейной. Она отличается от $\omega^{2} z$ только членами, порядок которых равен $O(\varepsilon)$. Именно это обстсятельство служило нам оправданием для представления решения в форме $z=$ $=x \cos y$, где $x$ и $y-\omega t$ – величины, медленно меняющиеся. Задачи теории колебаний, в которых функция $F(z, \dot{z})$ имеет форму (1.31), мы условились называть квазилинейными.
Қвазилинейная трактовка задачи вполне оправдана, если речь идет о
Рис. 24. системах, движение которых происхо-
дит под действием сил, являющихся аналитическими функциями фазовых координат. Тогда функцию $F(z, \dot{z})$ всегда можно представить в виде
\[
F(z, \dot{z})=\omega^{2} z+k \dot{z}+a_{10} z \dot{z}+a_{11} z^{2}+\ldots
\]
Квазилинейная трактовка (т.е. возможность представить функцию $F$ в виде (1.31)) будет означать в этом случае только одно; мы ограничиваемся рассмотрением лишь малых колебаний, при дополнительном условии, что интенсивность сил, рассеивающих энергию, также мала,
Предположим теперь, что возвращающая сила имеет вид, изображенный на рис. 24 . Функция $F(z)$ не является аналитической. Следовательно, для нее не существует представления (1.32). На первый взгляд қажется бессмысленным сам вопрос о возможности изучения колебаний такой существенно нелинейной системы в рамках квазилинейной теории. С другой стороны, уравнение (1.30) и в этом случае описывает колебательный процесс. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно установить, что уравнение (1.30) допускает интеграл энергии
\[
E \equiv \frac{1}{2} \dot{z}^{2}+\frac{1}{2} V(z)=\frac{1}{2} c,
\]
где $c$-произвольная постоянная, а $V=2 \int_{0}^{2} F(z) d z$, и построить фазовую плоскость (рис. 25). Мы видим, что фазовые
Рис. 25. траектории рассматриваемой системы замкнутые, т.е. все решения уравнения
\[
\ddot{z}+F(z)=0 \text {. }
\]
периодические. Качественный характер решений уравнения (1.30), естественно, наводит на мысль о целесообразности аппроксимировать его решения выражением
\[
z=x \cos \Omega t,
\]
где $x$ – некоторая постоянная. Величина $\Omega$ также постоянная, но она должна зависеть ог амплитуды $x$, так как система $\left(1.30^{\prime}\right)$ не изохронна и время полного обхода изображающей точки вокруг начала координат вдоль фазовой траектории зависит от положения фазовой траекторин. Другими словами, величина $\Omega$ должна считаться функцией амплитуды
\[
\Omega=\Omega(x) .
\]
Таким образом, вопрос о возиожности аппроксимировать решение уравнения (1.30) выражением (1.33) свелся к возможности определить надлежащим образом функцию (1.34).
Функция (1.33) удовлетворяет уравнению
\[
\ddot{z}+\Omega^{2} z=0,
\]
описывающему колебательные движения под действием возвращающей силы
\[
\Omega^{2}(x) z=\Omega^{2}(x) x \cos \Omega(x) t .
\]
Функция $F(z)$ в этом случае имеет вид $F(x \cos \Omega t)$, т. е. является четной периодической функцией времени и может быть разложена в ряд Фурье
\[
F(z)=a_{1}(x) \cos \Omega t+a_{2}(x) \cos 2 \Omega t+\ldots,
\]
где
\[
a_{1}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} F(x \cos y) \cos y d y .
\]
Положим теперь
\[
F(z)=\Omega^{2}(x) z-\varepsilon \varphi(z)
\]
и подберем функцию $\Omega(x)$ так, чтобы решение укороченных уравнений для случая, когда функция $F(z)$ имеет вид (1.37), совпадало бы с решением уравнения (1.35). Легко видеть, что для этого достаточно принять
\[
\Omega^{2}(x) \cdot x=a_{1}(x) ;
\]
откуда
\[
\Omega(x)=\sqrt{\frac{a_{1}(x)}{x}} .
\]
В самом деле, в этом случае
\[
\varepsilon \varphi(z)=-\left[a_{2}(x) \cos 2 y+a_{3}(x) \cos 3 y+\ldots\right] .
\]
Следовательно,
\[
\varepsilon \bar{\varphi}_{2}(x)=\frac{\varepsilon}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y) \cos y d y=0,
\]
т. e.
\[
\dot{y}=\Omega(x) .
\]
Итак, фиксируя амплитуду $x$, мы находим частоту эквивалентных линейных колебаний по формуле
\[
\Omega(x)=\sqrt{\frac{1}{2 \pi x} \int_{0}^{2 \pi} F(x \cos y) \cos y d y} .
\]
Эта формула определяет зависимость частоты колебаний от амплитуды.
Итак, метод эквивалентной линеаризации состоит в замене уравнения (1.30) линейным уравнением (1.35), где $\Omega(x)$ дается формулой (1.38). Напомним, что амплитуда $x$ здесь считается заданной постоянной.
Методы эквивалентной линеаризации разработаны сейчас не только для консервативных систем. Подробное изложение этих вопросов содержится в монографии Н. Н. Боголюбова и. Ю. А. Митропольского *).
*) Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебании, Физматгиз, 1958.
