Рассмотрим теперь вопрос о точности приближенного решения, полученного изложенным способом. Согласно общей схеме функция $\bar{x}$ должна быть заменена функцией $\bar{x}_{n}$, удовлетворяющей уравнению (4.10). Эту аппроксимацию мы будем рассматривать на большом интервале времени, длина которого имеет порядок $O(1 / \varepsilon)$. Так как в уравнении (4.10) отброшены члены, порядок которых $O\left(\varepsilon^{n+1}\right)$, то при вычислении производной мы допустим ошибку того же порядка. Следовательно, при интегрировании уравнения (4.10) на интервале длины, равной $1 / \varepsilon$, мы совершим ошибку порядка $O\left(\varepsilon^{n}\right)$. Итак,

В частном случае
\[
\bar{x}=\bar{x}_{n}+O\left(\varepsilon^{n}\right) .
\]
\[
\bar{x}=\bar{x}_{1}+O(\varepsilon) .
\]

Следовательно, если ограничиться первым приближением, то при интегрировании на больших отрезках времени ошибка в определении вектор-функции $x(t)$ будет иметь порядок ее производной.

Обратимся теперь к уравнению (4.10). Предположим, что величину $\bar{x}$ мы определили с погрешностью порядка $\varepsilon^{n}$; тогда величина $\omega(\bar{x})$ также определяется с погрешностью порядка $\varepsilon^{n}$, т. е.
\[
\omega(\bar{x})=\omega\left(\bar{x}_{n}\right)+O\left(\varepsilon^{n}\right) .
\]

Следовательно, при интегрировании этой величины на интервале, длина которого имеет порядок $O(1 / \varepsilon)$, мы будем иметь следующую оценку:
\[
\int_{0}^{t} \omega(\bar{x}) d t=\int_{0}^{t} \omega\left(\bar{x}_{n}\right) d t+O\left(\varepsilon^{n-1}\right) .
\]

Следовательно, в подынтегральном выражении формулы (4.10′) следует удержать только те члены, порядок которых после интегрирования будет равен $O\left(\varepsilon^{n-2}\right)$. Следовательно, и в выражении для $\dot{\bar{y}}$ слагаемое $\varepsilon^{n} B_{n}(\bar{x})$ должно быть отброшено, так как
\[
\varepsilon^{n} \int_{0}^{t} B_{n}\left(\bar{x}_{n}\right) d t=O\left(\varepsilon^{n-1}\right)
\]
т. е. оно имеет порядок ошибки в (4.13).

Следовательно, квадратуру (4.10′) мы должны писать в таком виде:
\[
\bar{y}_{n}(t)=y(0)+\int_{0}^{t}\left\{\omega\left(\bar{x}_{n}\right)+\varepsilon B_{1}(\bar{x})+\ldots+\varepsilon^{n-1} B_{n-1}\left(\bar{x}_{n}\right)\right\} d t .
\]

Точно так же в рядах (4.2) мы должны удержать только те члены, порядок которых не превосходит порядка ошибки. Таким образом, если речь идет о формулах $n$-го приближения, т. е. если $\bar{x}$ определяется с ошибкой порядка $\varepsilon^{n}$, а $\bar{y}-$ с ошибкой порядка $O\left(\varepsilon^{n-1}\right)$, то формула (4.2) должна быть записана в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=\bar{x}+\varepsilon u_{1}(\bar{x}, \bar{y})+\ldots+\varepsilon^{n-1} u_{n-1}(\bar{x}, \bar{y}), \\
y=\bar{y}+\varepsilon v_{1}(\bar{x}, \bar{y})+\ldots+\varepsilon^{n-2} v_{n-2}(\bar{x}, \bar{y}) .
\end{array}\right\}
\]

Итак, если вектор $x$ определяется с точностью до величин порядка $O\left(\varepsilon^{n}\right)$, то скаляр $y$, который мы будем называть фазой, определяется с мсньшей точностью.
Рассмотрим частный случай, когда $n=1$, т. е.
\[
\bar{x}=\bar{x}_{1}+O(\varepsilon) .
\]

Тогда на оєновании формул (4.15) будем иметь
\[
x=\bar{x}, \quad \dot{\bar{x}}+e \bar{X}(\bar{x}) .
\]

Примечание 1. Рассуждения этого раздела показывают, что при составлении укороченных уравнений Ван-дер-Поля (2.11) для нелинейных уравнений, близких к консервативным, мы включаем в правые части слагаемые, порядок которых равен порядку отброшенных членов. Теперь мы установили, что уравнения (2.11) без потери точности могут быть заменены такими:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{2 \pi \Delta} \int_{0}^{2 \pi} Q_{y} \varphi d y, \\
\dot{y}=\omega(x),
\end{array}\right\}
\]

если только частота $\omega$ зависит от $x$.
Специального рассмотрения требует тот случай, когда «частота» $\omega$ не зависит от $x$. В этом случае величина $\int_{0}^{t} \omega d t=\omega t$ вычисляется точно. Это дает возможность величину $y$ вычислить с меньшей погрешностью. В этом случае все величины $B_{i}\left(\bar{x}_{n}\right)$ вычисляются с погрешностью $O\left(\varepsilon^{n}\right)$. Следовательно, величина $\varepsilon \int B_{1}(\bar{x}) d t$ вычисляется с погрешностью $O\left(\varepsilon^{n}\right)$. Все прочие слагаемые подынтегрального выражения (4.11) будут вычислены с еще большей точностью. В том случае, когда $\omega$ предполагалась функцией $\bar{x}$, максимальная точность, которой мы могли добиться, вычисляя величину $\vec{y}$, была $O\left(\varepsilon^{n-1}\right)$. В случае $\omega=$ const порядок ошибки на единицу меньше. Следовательно, мы должны удержать в (4.11) все те члены, порядок которых $O\left(\varepsilon^{n-1}\right)$. Так как
\[
\boldsymbol{\varepsilon}^{n} \int_{0}^{t} B_{n}(\bar{x}) d x=O\left(\varepsilon^{n}\right)
\]

то в отличие от предыдущего случая теперь это слагаемое должно быть удержано.

Итак, в случае $\omega=$ const формулы (4.15) имеют следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=\bar{x}+\varepsilon u_{1}(\bar{x}, \bar{y})+\ldots+\varepsilon^{n-1} u_{n-1}(\bar{x}, \bar{y}), \\
y=\bar{y}+\varepsilon v_{1}(\bar{x}, \bar{y})+\ldots+\varepsilon^{n-1} v_{n-1}(\bar{x}, \bar{y}), \\
\dot{\bar{x}}=\varepsilon A_{1}(\bar{x})+\ldots+\varepsilon^{n} A_{n}(\bar{x}), \\
\dot{\bar{y}}=\omega+\varepsilon B_{1}(x)+\ldots+\varepsilon^{n} B_{n}(\bar{x}) .
\end{array}\right\}
\]

В частном случае, когда $n=1$, мы получим следующий аналог формул (4.16):
\[
x=\bar{x}, \quad \dot{x}=\varepsilon \bar{X}(x) .
\]

Уравнения (4.18) в случае, когда размерность вектора $x$ равна единице, совпадают с укороченными уравнениями Ван-дер-Поля.

Примечание 2. Заметим, что изложенная процедура сохраняет члены более высокого порядка, которые без потери точности могли бы быть отброшены. Поясним сказанное на примере расчета второго приближения*). Система уравнений для вектора $\bar{x}_{2}$ в этом случае будет
\[
\dot{\bar{x}}_{2}=\varepsilon A_{1}\left(\bar{x}_{2}\right)+\varepsilon^{2} A_{2}\left(\bar{x}_{2}\right) .
\]

Уравнение (4.19) позволяет вычислить $\bar{x}_{2}$ с ошибкой $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ (так как производная $\dot{\bar{x}}_{2}$ определена с ошибкой $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ ). Величина $\varepsilon^{2} A_{2}\left(\bar{x}_{2}\right)$ сама имеет порядок $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Следовательно, величину $A\left(\bar{x}_{2}\right)$ мы можем вычислить с погрешностью $O(\varepsilon)$. Таким образом, вместо системы (4.19) мы можем рассмотреть такую:
\[
\dot{\bar{x}}_{2}=\varepsilon A_{1}\left(\bar{x}_{2}\right)+\varepsilon^{2} A_{2}\left(\bar{x}_{1}\right),
\]

где $\bar{x}_{1}$ определяется уравнением
\[
\dot{\bar{x}}_{1}=\varepsilon \dot{A}_{1}\left(\bar{x}_{1}\right) .
\]

Такая замена может в некоторых случаях оказаться полезной при разработке схемы численного интегрирования.

В некоторых случаях удобно использовать методы теории возмущений, положив $\bar{x}_{2}=\bar{x}_{1}+\delta \bar{x}$. Подставив это выражение в (4.19) и отбрасывая произведения $\varepsilon^{2} \delta \bar{x}$, поскольку $\delta \bar{x}=O(\varepsilon)$, мы сведем задачу к решению уравнения (4.21) и решению линейного уравнения
\[
\frac{d \delta \bar{x}}{d t}=\varepsilon\left(\frac{d A_{1}}{d x}\right)_{x=\tilde{x}_{1}} \delta x+\varepsilon^{2} A_{2}\left(x_{1}\right),
\]

где $d A / d x$ – производная оператора $A$ в точке $x=x_{1}$. Вектор $x$ в рассматриваемом случае мы можем записать в виде
\[
x=\bar{x}_{1}+\delta \bar{x}+\varepsilon u_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) .
\]

Рассуждения подобного рода могут быть проведены и для анализа более общих случаев.