Подобно тому как изучение методов осреднения мы начали с рассмотрения простейших примеров и метода Ван-дер-Поля, изложение асимптотических методов большого параметра мы начнем также с рассмотрения простейших асимптотических решений и проведем рассуждения, опираясь на ингуитивные соображения.
Рассмотрим уравнение (\%)
\[
\ddot{y}+\lambda^{2} \omega^{2}(t) y=0 .
\]

Здесь $\lambda>0-$ большой параметр $\lambda \gg 1$ и $\omega^{2}(t) \geqslant \alpha>0$. Если бы функция $\omega(t)$ была постоянной величиной, то решения уравнения (1.1) имели бы вид
\[
y_{\mathrm{t}, 2}=\exp \left( \pm i \lambda_{\omega} t\right) .
\]

Кажется, что при достаточно большом $\lambda$ поведение решений при $\omega=\omega(t)$ должно хорошо описываться функцией
\[
\exp \left( \pm i \lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right) .
\]

В самом деле, если $\lambda$ достаточно велико, то решения уравнения (1.1) будут быстро осциллирующими функциями и за один период осцилляции функция $\omega(t)$ быстро измениться не сможет. Значит, в каждый момент времени линейно независимые решения можно аппроксимировать функциями
\[
y_{1,2} \approx \exp ( \pm i \lambda \bar{\omega} t),
\]

где $\bar{\omega}-$ среднее значение функции $\omega(t)$, причем $\bar{\omega} t$ мало отличается от $\int \omega(t) d t$.

Используя эти наводящие соображения, будем искать решения уравнения (1.1) в виде
\[
y_{1,2}=\exp \left[ \pm i \lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right] z(t, \lambda) .
\]

Экспоненциальный множитель в выражении (1.2) описывает быструю осцилляцию. Поэтому можно ожидать, что функция $z(t, \lambda)$ меняется медленно,

Дифференцируя дважды (1.2), подставляя в (1.1) и сокращая экспоненциальный множитель, мы получим уравнение относительно $z(t, \lambda)$
\[
\ddot{z} \pm 2 i \lambda \omega \dot{z} \pm i \lambda \dot{\omega} z=0
\]

или
\[
\frac{1}{\lambda} \ddot{z} \pm 2 i \omega \dot{z} \pm i \dot{\omega} z=0 .
\]

Первая производная функции $z(t, \lambda)$ мала, вторая производная, по-видимому, должна быть еще более малой величиной; к тому же она умножается на величину $1 / \lambda$, которая мала по условию. Следовательно, мы не сделаем большой ошибки, если отбросим в (1.3) слагаемое ( $1 / \lambda) \ddot{z}$. Уравнение (1.3) после этой процедуры превращается в уравнение первого порядка. Переменные в нем разделяются, и мы получаем
\[
z(t)=\frac{C}{\sqrt{\omega(t)}},
\]

где $C$ – произвольная постоянная.
Таким образом, мы получили следующие приближенные выражения для обоих линейно независимых интегралов уравнения (1.3):
\[
y_{1,2}^{*}=\frac{C_{1,2}}{\sqrt{\omega(t)}} \exp \left[ \pm i \lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right]
\]

или в тригонометрической форме
\[
\left.\begin{array}{l}
y_{1}^{*}=\frac{A}{\sqrt{\omega}} \cos \left(\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right), \\
y_{2}^{*}=\frac{B}{\sqrt{\omega}} \sin \left(\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right),
\end{array}\right\}
\]

где $A$ и $B$ – произвольные постоянные.
Функции (1.4) и (1.5) обычно называются WBKJ-решениями. Мы предполагали, что $\omega^{2}(t) \geqslant a>0$. Но все рассуждения сохраняют свою силу и в том случае, когда $\omega^{2}(t) \leqslant \alpha<0$, т. е. когда вместо уравнения (1.3) рассматривается уравнение
\[
\ddot{y}-\lambda^{2} \omega_{1}^{2}(t) y=0
\]

при $\omega_{1}^{2}(t) \geqslant \alpha>0$.
Для этого уравнения WBKJ-решения будут иметь вид
\[
y_{1,2}=\frac{C_{1,2}}{\sqrt{\omega(t)}} \exp \left( \pm \lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right) .
\]