Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{y}+2 a \dot{y}+\lambda \omega^{2} y=\lambda^{2} f(t) e^{i \lambda \int_{0}^{t} k(t) d t} .
\]

Уравнение (4.13) является примером, на котором легко продемонстрировать все особенности асимптотических представлений в том случае, когда правая часть представляет собой быстро осциллирующую функцию.
Частное решение уравнения (4.13) будем искать в виде
\[
y=z(t, \lambda) \exp \left\{i \lambda \int_{0}^{t} k(t) d t\right\},
\]

для функции $z(t, \lambda)$ получим следующее уравнение:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{z}+2 i \lambda k(t) \dot{z}+i \lambda k(t) z-\lambda^{2} k^{2} z+ \\
+2 a(\dot{z}+i \lambda k(t) z)+\lambda^{2} \omega^{2} z=\lambda^{2} f(t) .
\end{array}
\]

Іредположим сначала, что $z(t, \lambda)$ – функция, которая изменяется медленно. Другими словами, примем, что
\[
z(t, \lambda)=z_{0}(t)+\frac{1}{\lambda} z_{1}(t)+\ldots
\]

Тогда для функций $z_{i}(t)$ мы имеем следующие уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\omega^{2}(t)-k^{2}(t)\right) z_{0}=f(t), \\
\left(\omega^{2}(t)-k^{2}(t)\right) z_{1}=-i z_{0}(\dot{k}-2 a k), \\
\cdots \cdots \cdots
\end{array}\right\}
\]

Формулы (4.15) позволяют последовательно вычислить все члены разложения (4.15), если только на рассматриваемом интервале времени
\[
k(t)
eq \omega(t) .
\]

Если есть хотя бы одна точка $t=t^{*}$, где
\[
k\left(t^{*}\right)=\omega\left(t^{*}\right),
\]

то изложенная процедура теряет смысл. Следовательно, в этом случае функцию $z(t, \lambda)$ уже нельзя считать медленно изменяющейся.

Для построения асимптотики в этом случае расстройку будем считать малой. Другими словами, положим
\[
\omega^{2}(t)-k^{2}(t)=\lambda^{-1} \chi(t),
\]

а функцию $z$ будем искать в виде
\[
z(t, \lambda)=\lambda z_{0}+z_{1}+\lambda^{-1} z_{2}+\ldots
\]

Подставляя (4.17) и (4.18) в уравнения (4.14) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, приходим к следующим уравнениям, которые позволят определить члены разложения (4.18):

Қаждое из этих уравнений является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка и его решение может быть получено в квадратурах. Так, например, частное решение первого из уравнений системы (4.19) имеет вид
\[
z_{0}=\int_{0}^{t} \psi(\xi) \exp \left\{-\int_{\xi}^{t} \varphi(\zeta) d \zeta\right\} d \xi,
\]

где
\[
\Psi(\xi)=\frac{f(\xi)}{2 i k(\xi)}, \quad \varphi(\xi)=\frac{i k(\xi)+\chi(\xi)+2 a(\xi) k(\xi)}{2 i k(\xi)} .
\]

Если ограничиться первым членом разложения, то частное решение уравнения (4.13) мы представим в виде
\[
y=z_{0}(t) \exp \left\{i \lambda \int_{0}^{t} k(t) d t\right\}
\]

Если функции, входящие в уравнение (4.13), будут постоянными величинами, то формула (4.20) переходит в известное выражение, описывающее резонансные явления в колебательных системах с постоянными параметрами.

Для того чтобы в этом убедиться, положим $\dot{k}=0$. Кроме того, примем для простоты, что $\chi=0, a=0$. Тогда $\varphi=0$ и, следовательно,
\[
y=\frac{f}{2 i \omega} t \exp \{i \lambda k t\} \text {. }
\]

Рассмотрим теперь уравнение
\[
\ddot{y}+2 a \dot{y}+\lambda^{2} \omega^{2} y=\lambda^{2} f(t) \cos \left\{\lambda \int_{0}^{t} k(t) d t\right\} .
\]

Полагая
\[
\cos \left\{\lambda \int_{0}^{t} k(t) d t\right\}=\frac{1}{2 i}\left[\exp \left\{i \lambda \int_{0}^{t} k(t) d t\right\}+\exp \left\{-i \lambda \int_{0}^{t} k(t) d t\right\}\right]
\]

и используя линейность задачи, положим
\[
y=y_{1}+y_{2},
\]

где $y_{1}$ и $y_{2}$ – частные решения уравнений
\[
\begin{aligned}
\ddot{y}+2 a \dot{y}+\lambda^{2} \omega^{2} y & =\lambda^{2} f^{*}(t) \exp \left\{i \lambda \int_{0}^{t} k(t) d t\right\}, \\
\ddot{y}+2 a \dot{y}+\lambda^{2} \omega^{2} y & =\lambda^{2} f^{*}(t) \exp \left\{-i \lambda \int_{0}^{t} k(t) d t\right\}, \\
f^{*}(t) & =\frac{f(t)}{2 i} .
\end{aligned}
\]

Игак, мы продемонстрировали процедуру построения асимптотических представлений частных решений неоднородных уравнений, когда внешние силы являются осциллирующими функциями времени. Мы ограничились только тем случаем, когда система имеет одну степень свободы. Bce проведенные рассуждения распространяются и на произвольные линейные системы вида
\[
\dot{y}=\lambda A(t, \lambda) y+f(t) \exp \left\{i \lambda \int_{0}^{t} k(t) d t\right\},
\]

где $y$ и $f$ – векторы размерности $n, A$ – матрица
\[
A(t, \lambda)=A_{0}(t)+\lambda^{-1} A_{1}(t)+\lambda^{-2} A_{2}(t)+\ldots
\]

Если ни для какого $t \in[0, T] k
eq \mu_{i}$, где $\mu_{i}$ – корень уравнения
\[
\left|A_{0}-\mu E\right|=0 \text {, }
\]

то расчет частного решения уравнения (4.22) сводится к последовательному решению системы алгебраических уравнений; если для некоторых $t \in[0, T] k=\mu$, то мы имеем резонансный случай, и расчет асимптотических представлений приводит к необходимости численно решать некоторую систему дифференциальных уравнений.