В рамках квазилинейной теории удается установить одну замечательную особенность нелинейных систем – возможность существования резонанса $n$-го рода. Мы уже знаем, что в тех случаях, когда на квазилинейный осциллятор действует внешнее периодическое возбуждение интенсивностью $O(\varepsilon)$, в осцилляторе могут возникнуть вынужденные колебания, амплитуды которых имеют порядок 1. Возникновение интенсивных колебаний, как это было показано, может осуществиться, если частота внешней возбуждающей силы близка к собственной частоте. Это явление мы называли резонансом. Условимся теперь называть его главным резонансом. Это уточнение необходимо потому, что интенсивные вынужденные колебания (амплитуда которых равна $O(1)$ ) квазилинейного осциллятора возможно и тогда, когда частота возмущающей силы (интенсивность когорой имеет теперь порядок $O(\varepsilon)$ ) близка к $n \omega$, где $\omega$ – собственная частота, а $n$ – некоторое целое число.
Рассмотрим снова квазилинейное уравнение (7.9) и для упрощения всех рассуждений ограничимся изучением его частного случая
\[
\ddot{x}+x=a \cos n t+\varepsilon \varphi(x, \dot{x}, t),
\]
где $n$-целое число, а функция $\varphi$ – периодическая функция времени периода 2 л. Согласно терминологии, которая была нами принята, соотношение частот возмущающей силы и собственных колебаний определяет нерезонансный случай. Если, следуя изложенной методике, мы начнем разыскивать решения уравнения (7.43), периода $2 \pi$, то мы должны будем искать это решение в форме ряда
\[
x=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon^{2} x_{2}+\ldots,
\]
где $x_{0}$ – решение порождающего уравнения
\[
x_{0}=-\frac{a}{n^{2}-1} \cos n t .
\]
Решение, которое будет найдено этим способом, будет иметь период $T^{*}=2 \pi / n$. Однако помимо решения (7.44), порождающее уравнение
\[
\ddot{x}+x=a \cos n t
\]
допускает еще двупараметрическое семейство периодических решений периода $2 \pi$
\[
\tilde{x}=M \cos t+N \sin t+\psi(t),
\]
где $\psi(t)$ определяется формулой (7.44). Это обстоятельство позволяет предположить, что среди периодических решений уравнения (7.43) периода $2 \pi$, кроме решений, определяемых алгоритмом п. 2 этого параграфа, могут быть решения также и другого типа. Попробуем разыскать решения уравнения (7.43), которые при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходят в решения (7.45) при условии, что хотя бы одно из чисел $M$ или $N$ отлично от нуля.
Для этого положим
\[
x=\tilde{x}+\varepsilon x_{1}+\ldots
\]
Процедура отыскания решения вида (7.46) ничем не отличается от процедуры отыскания решения в окрестности главного резонанса. Подставляя ряд (7.46) в уравнение (7.43), мы получаем уравнения для $x_{i}$. Функция $x_{1}$ удовлетворяет уравнению
\[
\ddot{x}_{1}+x_{1}=\varphi(\tilde{x}, \dot{\tilde{x}}, t) .
\]
Для того чтобы уравнение (7.47) допускало периодические решения периода $2 \pi$, необходимо, чтобы числа $M$ и $N$ удовлетворяли следующей системе трансцендентных уравнений:
\[
\left.\begin{array}{r}
P(N, M) \equiv \int_{0}^{2 \pi} \varphi(M \cos t+N \sin t+\psi \\
-M \sin t+N \cos t+\dot{\psi} ; t) \cos t d t=0 \\
Q(M ; N) \equiv \int_{0}^{2 \pi} \varphi(M \cos t+N \sin t+\psi ; \\
-M \sin t+N \cos t+\dot{\psi}, t) \sin t d t=0
\end{array}\right\}
\]
Пусть теперь $M$ и $N$ – простые корни системы (7.48), тогда, как это следует из теории, изложенной в п. 3 настоящего параграфа, определение последующих приближений потребует решения уже только линейных уравнения типа (7.25):
\[
\left.\begin{array}{l}
M_{i} \frac{\partial P}{\partial M}+N_{i} \frac{\partial P}{\partial N}=\Psi^{(i)}, \\
M_{i} \frac{\partial Q}{\partial M}+N_{i} \frac{\partial Q}{\partial N}=\Phi^{(i)},
\end{array}\right\}
\]
где $\Psi^{(i)}$ и $\Phi^{(i)}$ – некоторые известные числа.
В силу сделанных предположений о природе корней системы уравнений (7.48) система (7.25′) всегда разрешима.
Система уравнений (7.48) аналогична системе уравнений (7.21) и может рассматриваться как частный случай такой системы. Она обладает следующей. особенностью: если функция $\varphi(x, \dot{x}, t)$ имеет по $t$ период $T=2 \pi / n$, то система (7.48) всегда допускает тривиальное решение $M \equiv N \equiv 0$.
В самом деле, поскольку в этом случае, т. е. при $M=N=0$ функция (7.45) будет в качестве своего наименьшего периода иметь период $T^{*}=2 \pi / n$, то таким же периодом будет обладать и функция $\varphi(\tilde{x}, \dot{\tilde{x}}, t)$, и следовательно, ее разложение в ряд Фурье будет содержать только гармоники, имеющие частоту, кратную $n$, т. е. условие ортогональности (7.48) выполняется автоматически.
Это обстоятельство можно использовать для сокращения выкладок при эффективном определении интересующих нас решений.
Заметим, что все рассуждения остаются в силе и для того частного случая, когда амплитуда возмущающей силы имеет порядок $O(\varepsilon)$. Таким образом, даже малые воздействия на квазилинейную систему периодическими возмущающими силами кратной частоты могут возбудить в ней интенсивные колебания, происходящие с частотой собственных колебаний. Такое явление называется резонансом $n$-го рода. Впервые исследованиями подобных колебаний занимались Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси.
