Используя выписанные формулы, покажем, что общий интеграл уравнения (2.1) можно представить в виде
\[
x=C \operatorname{sn}[\sigma(t+h), k] .
\]
В это выражение входят четыре постоянные $C, \sigma, h$ и $k$. Одна из постоянных, которая входит в общий интеграл этого уравнения, должна быть аддитивной. В самом деле, если функция $x(t)$ удовлетворяет уравнению, то, каково бы ни было число $g$, функция $x(t+g)$ также является решением. В выражении (2.7) аддитивную постоянную мы обозначили буквой $h$. Три другие постоянные определяются двумя числами $\omega$ и $\mu$. Это значит, что они должны быть связаны двумя соотношениями. Следовательно, в их определении имеется еще один произвол. Итак, в выражении (2.7) имеются лишь две постоянные, которые могут быть выбраны по произволу, причем одна из них аддитивная постоянная $h$.
Вычислим теперь $\dot{x}$ и $\ddot{x}$ :
\[
\begin{aligned}
\frac{d x}{d t} & =C \sigma \operatorname{cn} u \operatorname{dn} u, \\
\frac{d^{2} x}{d t^{2}} & =-C \sigma^{2}\left(\operatorname{sn} u \mathrm{dn}^{2} u+k^{2} \operatorname{sn} u \operatorname{cn}^{2} u\right) .
\end{aligned}
\]
Используя (2.5), преобразуем полученное выражение к виду
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-C \sigma^{2}\left[\left(1-k^{2} \operatorname{sn}^{2} u\right) \operatorname{sn} u+\right. & \left.k^{2}\left(1-\operatorname{sn}^{2} u\right) \operatorname{sn} u\right]= \\
& =-C \sigma^{2}\left(1+k^{2}\right) \operatorname{sn} u+2 C \sigma^{2} k^{2} \operatorname{sn}^{3} u .
\end{aligned}
\]
Наконец, вспоминая, что
\[
C \operatorname{sn} u=x,
\]
получим окончательно
\[
\frac{d^{2} x^{2}}{d \iota^{2}}+\sigma^{2}\left(1+k^{2}\right) x-\frac{2 \sigma^{2} k^{2}}{C^{2}} x^{3}=0 .
\]
Сопоставляя это уравнение с уравнением (2.1), мы видим, что его решение можно представить в форме (2.7), если параметры $\sigma, C$ и $k$ подчинить двум условиям
\[
\begin{array}{c}
\sigma^{2}\left(1+k^{2}\right)=\omega^{2}, \\
\frac{2 \sigma^{2} k^{2}}{C^{2}}=\mu .
\end{array}
\]
Таким образом, мы показали, что общий интеграл уравнения (2.1) имеет форму (2.7), если только параметры $C$, $\sigma$ и $k$ удовлетворяют соотношениям (2.9) и (2.10).
Постоянная $h$ занимает особое место среди произвольных постоянных. В самом деле, предпо.тожим, что мы нашли некоторое частное решение уравнения (2.1), зависящее от одной произвольной постоянной
\[
x=X(C, t) ;
\]
тогда мы сразу можем выписать общее решение этого уравнения
\[
x=X(C, t+h) .
\]
Таким образом, в случае систем, параметры которых не зависят от времени, нам достаточно изучить только некоторый однопараметрический класс частных решений. Пользуясь этим обстоятельством, рассмотрим решение уравнения (2.1) вида
\[
x=C \operatorname{sn}(\sigma t, k) .
\]
По аналогии с линейными системами числа $C$ и $\sigma$ будем называть «амплитудой» и «частотой». Так как $\sigma t=u$, то при $t=0$, $u=0$ и, следовательно,
\[
x(0)=0 .
\]
Обозначим $\dot{x}(0)=\lambda$, где $\lambda$ – произвольное число. И так как
то получим
\[
\operatorname{cn}(0)=\operatorname{dn}(0)=1 \text {, }
\]
\[
\dot{x}(0)=\lambda=\sigma C .
\]
Соотношение (2.11) устанавливает зависимость «амплитуды» $C$ и «частоты» $\sigma$ от начальной энергии $T=\dot{x}_{0}^{2} / 2$. Соотношения (2.9), (2.10) и (2.11) позволяют определить параметры $\sigma, k$ и $C$.
