Вернемся снова к системе (4.1). Изложенный метод позволяет исследовать периодические и стационарные решения этой системы.
Предположим, что $\bar{x}_{n}$ – корень уравнения
\[
A_{1}\left(\bar{x}_{n}\right)+\varepsilon A_{2}\left(\bar{x}_{n}\right)+\ldots+\varepsilon^{n-1} A\left(\bar{x}_{n}\right)=0 .
\]

Тогда (4.17) нам дает
\[
\dot{\bar{x}}_{n}=0 \text {, т. е. } \overline{\boldsymbol{x}}_{n}=\text { const. }
\]

Для функции $\bar{y}_{n}$ получим
\[
\bar{y}_{n}=\omega^{*} t+y(0),
\]

где
\[
\omega^{*}=\omega\left(\bar{x}_{n}\right)+\Sigma \varepsilon^{k} B_{k}\left(\bar{x}_{n}\right) .
\]

Функции $u_{i}\left(\bar{x}_{n}, \bar{y}_{n}\right)$ и $v_{i}\left(\bar{x}_{n}, \bar{y}_{n}\right)$ – периодические функции переменной $\bar{y}$, следовательно, в данном случае они также будут периодическими функциями времени периода $2 \pi / \omega^{*}$. Таким образом, функция
\[
x=\bar{x}_{n}+\sum \varepsilon^{k} u_{k}(\bar{x}, \bar{y})=\bar{x}_{n}+\sum \varepsilon^{k} u_{k}\left(\bar{x}_{n}, y(0)+\omega^{*}\left(\bar{x}_{n}\right) t\right)
\]

будет периодической функцией времени.
В начале этой главы мы показали, что в том случае, когда исследования проводятся в рамках первого приближения, из уравнения ( $4.39^{\prime}$ ) для $\bar{x}$ мы получаем стационарное решение. В общем случае этот прием позволяет построить некоторые периодические решения. Они могут быть использованы для аппроксимации стационарных режимов.