Задачи исследования резонансных явлений в системах с вращающимися звеньями имеют целый ряд особенностей. Продемонстрируем этот факт на одном простом примере.
Рассмотрим частный случай уравнений (7.39)

где
\[
\ddot{z}+f(z)=\varphi(\dot{z}, t),
\]
\[
\varphi(\dot{z}, t)=\psi(\sigma t)-2 v \dot{z},
\]

здесь $v$ – некоторая положительная постоянная, а число $\sigma$ подобрано так, что функция $\psi(\sigma t)$ является периодической функцией периода $2 \pi$ по переменному $\sigma t$. Предполоким, кроме того, что средние значения периодических функций $\psi$ и $Z$ равны нулю
\[
\bar{\psi}=0, \quad \bar{Z}=0 .
\]

Ограничимся рассмотрением случая главного резонанса и воспользуемся общей методикой § 5 этой главы. Для этого сделаем прежде всего замену
\[
z=Q(x, y)=y+x Z(y), \quad \dot{z}=\omega Q_{y}=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+x Z_{y}\right)
\]

и заменим уравнение (7.57) следующей системой (см. уравнения (7.45)):
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\mu}{\Delta} \varphi Q_{y}=-2 \mu x^{3 / 2}\left\{\psi(\xi)-\frac{2 v}{\sqrt{x}}\left(1+x Z_{y}\right)\right\}\left(1+x Z_{y}\right), \\
\dot{y}=\omega+\frac{\mu}{\Delta} \varphi Q_{x}=x^{-1 / 2}+2 \mu x^{3 / 2}\left\{\psi(\xi)-\frac{2 v}{\sqrt{x}}\left(1+x Z_{y}\right)\right\} Z, \\
\xi=\sigma .
\end{array}\right\}
\]

Мы условились рассматривать случай главного резонанса. Это значит, что амплитуда $x$ изменяется в окрестности значения $x^{0}$, являющегося корнем уравнения
\[
\frac{1}{\sqrt{x^{0}}}=\sigma .
\]

При этом предположении преобразуем систему уравнений (7.58), сделав стандартную замену переменных
\[
y=\xi+\theta .
\]

После замены (7.60) правые части системы (7.59) окажутся периодическими функциями переменной $\xi$ периода $2 \pi$. Далее проведем усреднение по быстрой переменной है, в результате получим следующую систему уравнений первого приближения:
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=-2 \mu x^{3 / 2}\left\{\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \psi(\xi) d \xi+\frac{x}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \psi(\xi) Z_{y}(\xi+\theta) d \xi-\right. \\
\left.-\frac{2 v}{\sqrt{x}} \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(1+2 x Z_{y}(\xi+\theta)+x^{2} Z_{y}^{2}(\xi+\theta)\right) d \xi\right\}, \quad(7.61) \\
\theta=-\frac{1}{\sqrt{x}}-\sigma+2 \mu x^{3 / 2}\left\{\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \psi(\xi) Z(\xi+\theta) d \xi-\right. \\
\left.-\frac{2 v}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(Z(\xi+\theta)+x Z_{y}(\xi+\theta) Z(\xi+\theta)\right) d \xi\right\} .
\end{array}
\]

Систему (7.61) можно значительно упростить. Так как в рассматриваемой теории предполагается, что $x-x^{0}=O(\mu)$, то
\[
\frac{1}{\sqrt{\bar{x}}}-\sigma=-\frac{x-x^{0}}{2 \sqrt{x^{0^{3}}}}+O\left(\mu^{2}\right) .
\]

Поскольку мы изучаем уравнения первого приближения, то слагаемое порядка $O\left(\mu^{2}\right)$ можно отбросить. На этом же основании в правых частях системы (7.6I) мы можем заменить $x$ на $x^{0}$. Далее мы будем пренебрегать величинами $x^{2}$ по сравнению с единицей.
Заметим, кроме того, что:
1) по условию
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \psi(\xi) d \xi=0 ;
\]
2) в силу того, что функция $Z(y)$ периодическая, имеем
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} Z_{y}(\xi+\theta) d \xi=\frac{1}{2 \pi}\{Z(2 \pi+\theta)-Z(\theta)\}=0 ;
\]
3) на том же основании
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} Z_{y}(\xi+\theta) Z(\xi+\theta) d \xi=0 ;
\]

4) по условию и в силу периодичности $Z(y)$
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} Z(\xi+\theta) d \xi=0 .
\]

Введем еще следующие обозначения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \psi(\xi) Z_{y}(\xi+\theta) d \xi=F_{1}(\theta), \\
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \psi(\xi) Z(\xi+\theta) d \xi=F_{2}(\theta) .
\end{array}
\]

Используя эти замечания и введенные обозначения, перепишем систему (7.61) в форме
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-2 \mu \sqrt{x^{0^{3}}}\left\{x^{0} F_{1}(\theta)-\frac{2 v}{\sqrt{x^{0}}}\right\}, \\
\theta=-\frac{x-x^{0}}{2 \sqrt{x^{0^{3}}}}+2 \mu \sqrt{x^{0^{3}}} F_{2}(\theta) .
\end{array}\right\}
\]

Возможные стационарные режимы резонансных «колебаний» $x^{*}$ и $\theta^{*}$ определяются системой уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
F_{1}\left(\theta^{*}\right)=\frac{2 v}{\sqrt{x^{0^{3}}}}, \\
x^{*}=x^{0}+4 \mu x^{0^{3}} F_{2}\left(\theta^{*}\right),
\end{array}\right\}
\]

көторая получается из (7.62) при $\dot{x}=\dot{\theta}=0$.
Первое из уравнений (7.63), определяющее сдвиг фаз при резонансе, является нелинейным уравнением и может иметь сколько угодно корней (в том числе и ни одного). Определив $\theta^{*}$, находим резонансную амплитуду $x$ * однозначно.
В качестве примера рассмотрим уравнение (7.57), в котором

Тогда
\[
f(z)=\sin Z, \quad \psi(\sigma t)=\sin \sigma t .
\]
\[
\begin{array}{c}
Z=\sin y, \quad Z_{y}=\cos y, \\
F_{1}(\theta)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin \xi \cos (\xi+\theta) d \xi=-\frac{1}{2} \sin \theta, \\
F_{2}(\theta)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin \xi \sin (\xi+\theta) d \xi=\frac{1}{2} \cos \theta .
\end{array}
\]

Величина $x^{0}$ определяется равенством
\[
x^{0}=\frac{1}{\sigma^{2}} \text {. }
\]

Соотношения, описывающие стационарное решение в данном случае, мы можем представить в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
\sin \theta^{*}=-\frac{4 v}{\sqrt{x^{0^{3}}}}=-4 v \sigma^{3}, \\
\cos \theta^{*}=\frac{x^{*}-x^{0}}{2 \mu x^{0^{3}}}=\frac{\sigma^{6}}{2 \mu}\left(x^{*}-\frac{1}{\sigma^{2}}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Первое из уравнений (7.64) нам показывает, что существуют только два резонансных режима $\theta_{1}^{*}$ и $\theta_{2}^{*}$. Эти величины лежат во втором и четвертом квадрантах, т. е. $\cos \theta_{1}^{*}$ и $\cos \theta_{2}^{*}$ имеют разные знаки. Следовательно, одна из резонансных амплитуд больше чем $x^{0}$, а вторая меньше.

Рассмотрим теперь устойчивость стационарных решений $x^{*}$ и $\theta^{*}$, которые определяются формулами (7.63). Для этого мы должны составить систему уравнений в вариациях для системы (7.62).
Положим
\[
x=x^{*}+\delta x, \quad \theta=\theta^{*}+\delta \theta .
\]

Подставляя эти величины в (7.62) и линеаризуя относительно вариаций $\delta x$ и $\delta \theta$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\delta \dot{x}=-2 \mu \sqrt{x^{0^{5}}} \frac{d F_{1}\left(\theta^{*}\right)}{d \theta} \delta \theta, \\
\delta \theta=-\frac{\delta x}{2 \sqrt{x^{0^{3}}}}+2 \mu \sqrt{x^{0^{3}}} \frac{d F_{2}\left(\theta^{*}\right)}{d \theta} \delta \theta .
\end{array}
\]

Составим характеристическое уравнение этой системы
\[
\left|\begin{array}{cc}
\lambda & 2 \mu \sqrt{x^{05}} \frac{d F_{1}\left(\theta^{*}\right)}{d \theta} \\
\frac{1}{2 \sqrt{x^{0^{3}}}} & \lambda-2 \mu \sqrt{x^{0^{3}}} \frac{d F_{2}\left(\theta^{*}\right)}{d \theta}
\end{array}\right|=0 .
\]

Вычислим производную $d F_{2} / d \theta$ для значений $\theta=\theta^{*}$, удовлетворяющих первому из уравнений (7.63):
\[
\frac{d F_{2}}{d \theta}=\frac{1}{2 \pi} \frac{d}{d \theta} \int_{0}^{2 \pi} \psi(\xi) Z\left(\xi+\theta^{*}\right) d \xi=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \psi(\xi) Z_{y}\left(\xi+\theta^{*}\right) d \xi=F_{1}\left(\theta^{*}\right) .
\]

Заменяя далее $F_{1}\left(\theta^{*}\right)$ по формулам (7.63), мы приводим уравнение (7.65) к виду
\[
\lambda^{2}-4 \mu
u \lambda-\mu x^{0} \frac{d F_{1}}{d \theta}=0 .
\]

Для того чтобы вычислить производную $d F_{1} / d \theta$, необходимо конкретизировать задачу. Например, в том частном случае, который мы рассматривали в качестве примера
\[
\frac{d F_{1}}{d \theta}=-\frac{1}{2} \cos \theta^{*},
\]

и уравнение (7.66) имеет следующий вид:
\[
\lambda^{2}-4 \mu
u \lambda+\frac{\mu x^{0}}{2} \cos \theta^{*}=0 .
\]

Заметим, однако, что для суждения об устойчивости нет необходимости конкретизировать вид функции $d F_{1} / d \theta$. Каковы бы ни были величина и знак $d F_{1} / d \theta$, оба корня уравнения (7.66) имеют положительные действительные части, т. е. мы имеем в этом случае совсршенно общий результат: стационарные резонансные режимы у вращающегося маятника при наличии трения неустойчивы.

Впервые этот результат для частного случая математического маятника, когда решение может быть получено в эллиптических функциях, был установлен Ф. Л. Черноусько. Использование асимптотики больших энергий показывает его универсальность.

На основании общих соображений мы можем высказать только суждение о неустойчивости. Изучение характера развития изменения амплитуды и фазы требует использования более детальной информации.

Рассмотрим снова пример вращательных движений математического маятника. Мы знаем, что эта система имеет два стационарных режима $x_{1}^{*}>x^{0}$ и $x_{2}^{*}<x^{0}$. Первому из этих режимов, согласно формулам (7.64), отвечает такое значение $\theta_{1}^{*}$, что $\cos \theta_{\mathrm{i}}^{*}>0$.
Следовательно, в этом случае
\[
\lambda_{1,2}=2 \mu v \lambda \pm \sqrt{4 \mu^{2} v^{2}-\frac{\mu x^{0}}{2} \cos \theta^{*}} .
\]

В зависимости от соотношения величин, входящих в подкоренное выражение, неустойчивость может быть либо колебательной, либо апериодической. Если
\[
4 \mu^{2} v^{2}<\frac{\mu x^{0}}{2} \cos \theta^{*}
\]

то $\lambda_{1,2}$ будут комплексно сопряженными и мы имеем колебательную неустойчивость. В противном случае неустойчивость будет апериодической.

Режиму $x^{*}$ отвечает такое значение стационарной фазы $\theta_{2}^{*}$, что $\cos \theta_{2}^{*}<0$. Легко видеть, что этому случаю всегда отвечает апериодическая неустойчивость.

Итак, резонансные режимы в условиях вращательного движения маятника всегда неустойчивы, если только на маятник действует диссипативная сила $(v>0)$. Если $v=0$, то мы имеем нейтральный случай. Оба корня характеристического уравнения чисто мнимые. Это значит, что для суждения об устойчивости мы должны рассмотреть более сложную задачу о колебании с учетом нелинейных членов. Во всяком случае, из изложенной теории следует, что диссипативные слагаемые играют дестабилизирующую роль. Это обстоятельство указывает на существование качественных различий между колебательным движением около положения равновесия и колебательным движением около равномерного вращения.

Причина этого различия очевидна. В первом случае диссипативные силы никак не влияют на сам характер невозмущенного движения (состояние покоя), а во втором случае они разрушают само невозмущенное движение.

Для того чтобы были правомерно рассмотрены аналогии между этими двумя типами движений, необходимо в случае вращательного движения приложить к маятнику некоторый постоянный момент, компенсиру:щий в среднем действие диссипативных сил.