Рассмотрим сначала тот частный случай, когда фундаментальные решения $x_{2}(t)$, $x_{2}(t), y_{1}(t)$ и $y_{2}(t)$ — периодические функции. Заметим, что уравнения в вариациях, отвечающие изохронным системам, т. е, системам, период колебаний которых не зависит от начальных условий, всегда имеют периодические решения.

Так как $C$ и $D$ — постоянные числа, то в силу периодичности функций $x_{i}$ и $y_{i}$ из (2.6), мы получаем следующие условия:
\[
\left.\begin{array}{l}
C x_{1}(2 \pi)+D x_{2}(2 \pi)=x_{0}, \\
C y_{1}(2 \pi)+D y_{2}(2 \pi)=y_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Равенства (2.6′) позволяют упростить систему (2.7), которую можно теперь рассматривать как систему однородных алгебраических уравнений относительно интегралов
\[
I_{1}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{F_{1} y_{2}-F_{2} x_{2}}{\Delta} d t, \quad I_{2}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{F_{2} x_{1}-F_{1} y_{1}}{\Delta} d t .
\]

Перепишем эту систему в следующем виде:
\[
x_{1} I_{1}+x_{2} I_{2}=0, \quad y_{1} I_{1}+y_{2} I_{2}=0 .
\]

Определитель системы (2.8) есть определитель Вронского для функций $x_{1}, x_{2}, y_{1}$ и $y_{2}$. В силу независимости этих функций он отличен от нуля. Таким образом, система (2.8) имеет только тривиальное решение. Поэтому
\[
\left.\begin{array}{l}
I_{1}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{F_{1} y_{2}-F_{2} x_{2}}{\Delta} d t=0, \\
I_{2}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{F_{2} x_{1}-F_{1} y_{1}}{\Delta} d t=0 .
\end{array}\right\}
\]

Итак, мы пришли к следующему результату: если фундаментальное решение системы (2.2) выражается периодическими функциями, то для того, чтобы любое решение системы (2.1) было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы функцин $F_{1}$ и $F_{2}$ удовлетворяли условиям (2.9).