В этой книге мы не раз обращалиеь к уравнению Ван-дер-Поля
\[
\ddot{z}+z=\mu\left(1-b z^{2}\right) \dot{z} .
\]
Используем его в качестве примера для иллюстрации излагаемых методов. Напомним некоторые результаты, относящиеся к уравнению (7.49).
Если разыскивать решение этого уравнения в виде
\[
z=\cos y
\]
то первое из укороченных уравнений будет иметь вид
\[
\dot{x}=\frac{\mu x}{2}\left(1-\frac{b x^{2}}{4}\right),
\]
откуда сразу следует, что существуют две стационарные амплитуды
\[
x_{1}=0, \quad x_{2}=\frac{2}{\sqrt{b}} .
\]
Для проверки устойчивости стационарных решений (7.51) нам достаточно определить знак производной правой части уравнения (7.50)
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{d}{d x}\left[x\left(1-\frac{b x^{2}}{4}\right)\right]\right)_{x=0} & =1>0, \\
\left(\frac{d}{d x}\left[x\left(1-\frac{b x^{2}}{4}\right)\right]\right)_{x=2 / V \bar{b}} & =-\frac{1}{2}<0 .
\end{aligned}
\]
Из этих неравенств следует, что стационарное решение $x_{1}$ неустойчиво, а $x_{2}$ устойчиво.
Уравнение (7.49) – это квазилинейное уравнение. Его аналогом для произвольных отклонений $z$ естественно считать уравнение
\[
\ddot{z}+\sin z=\mu\left(1-b \sin ^{2} z\right) \dot{z} .
\]
Порождающее уравнение, которое получается при $\mu=0$, нами уже изучено. Его общее решение можно представить в виде
\[
z=y+x Z(x, y)
\]
где $y=\omega t, \omega=\frac{1}{\sqrt{x}}, Z$ – периодическая функция переменной $y$ периода $2 \pi$. Величину $x$-отклонение ог равномерного вращения – будем называть амплитудой.
Решение (7.53) допускает, как мы знаем, асимптотическое представление
\[
z(x, y)=\sin y+O\left(\frac{1}{\omega^{3}}\right) .
\]
Величины $x$ и $y$ будем рассматривать как новые переменные и, применяя методику предыдущего пункта, получим
\[
\begin{array}{c}
z=Q(x, y)=y+x \sin y, \\
\dot{z}=\omega Q_{y}=\frac{1}{\sqrt{x}}(1+x \cos y), \quad \Delta=\frac{1}{2 x^{3 / 2}} .
\end{array}
\]
Выпишем первое из уравнений системы (7.45).
\[
\dot{x}=-\frac{\mu}{\Delta} \varphi Q_{y}=-2 \mu x\left\{1-b \sin ^{2}(y+x \sin y)\right\}\{1+x \cos y\}^{2} .
\]
Правая часть уравнения (7.54) – периодическая функция переменной $y$ периода $2 \pi$. Прежде чем проводить осреднение по этой переменной, представим правую часть уравнения (7.54) в виде ряда, расположенного по степеням $x$ :
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=-2 \mu x\left\{1-b \sin ^{2} y+x\left(2 \cos y-4 b \cos y \sin ^{2} y\right)+\right. \\
\left.\quad+x^{2}\left(\cos ^{2} y+b \sin ^{3} y \cos y-6 b \sin ^{2} y \cos ^{2} y\right)+x^{3}(\ldots)+\ldots\right\} .
\end{array}
\]
Усредняя правую часть этого уравнения, имеем
\[
\dot{x}=-2 \mu x\left\{1-\frac{b}{2}+x^{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4} b\right)+x^{4}(\ldots)+\ldots\right\} .
\]
Удержим в фигурных скобках только величины нулевой и второй степени относительно амплитуды $x$
\[
\dot{x}=-2 \mu x\left\{1-\frac{b}{2}+x^{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\right) b\right\}
\]
и в этой приближенной постановке найдем стационарные амплитуды
\[
x_{1}=0, \quad x_{2}=\sqrt{2 \frac{2-b}{3 b-2}} .
\]
Так как при выводе уравнения (7.55) мы приняли предположение о малости амплитуды, то формула (7.56) имеет смысл только для значений коэффициента $b$, близких к двум (но $b<2$ ). Для исследования устойчивости вычислим
\[
\frac{d}{d x}\left(-x\left\{1-\frac{b}{2}+x^{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4} b\right)\right\}\right)=-\left(1-\frac{b}{2}\right)-3 x^{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4} b\right) .
\]
Отсюда следует, что решение $x_{1}$ устойчиво, а решение $x_{2}$ неустойчиво.
