АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ (Н. Н.МОИСЕЕВ)

Научная библиотека

Научная библиотека

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ (Н. Н.МОИСЕЕВ)

Н. Н. МОИСЕЕВ

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов университетов и физико-гехнических высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ
M O СКВ А 1969

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
$\begin{array}{lllll} \\ I & A & B & A & I\end{array}$ НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА
§ 1. Метод фазовой плоскости и некоторые свойства нелинейных колебаний
1. Фазовые траектории.
2. Линейные системы.
3. Фазовая плоскость уравнения Дюффинга.
4. Пример периодической фазовой плоскости.
§ 2. Дальнейшее изучение уравнения Дюффинга
1. Некоторые сведения из теории эллиптических функций.
2. Выражение общего интеграла уравнения Дюффинга.
3. Формула для периода.
§ 3. Примеры колебаний систем с переменными параметрами
1. Предварительные замечания.
2. Случай, когда возвращающая сила стремится к нулю.
3. Колебания с диссипативными силами.
4. Случай, когда возвращающая сила ограничена.
§ 4. О некоторых достаточных условиях ограниченности колебаний
1. Критерий устойчивости для случая, когда возвращающая сила изменяется монотонно.
2. Устойчивость колебаний ракеты.
3. Основная лемма.
4. Критерий устойчивости для уравнения (3.8).
§ 5. Теорема Пуанкаре
1. Формулировка.
2. Доказательство утверждения I.
3. Замечание об аналитичности правых частей.
ГЛАВА II МЕТОД ЛЯПУНОВА-ПУАНКАРЕ
§ 1. Система Ляпунова — случай одной степени свободы
1. Консервативные системы.
2. Система Ляпунова.
3. Приведение к каноническому виду.
4. Преобразование интеграла $\boldsymbol{H}$.
5. Периодичность решений системы Ляпунова.
6. Вычисление периода.
7. Одно свойство периода.
8. Формулировка теоремы Ляпунова.
§ 2. Условия существования периодических решений
1. Предмет исследования.
2. Необходимые и достаточные условия периодичности.
3. Случай, когда фундаментальные решения уравнения (2.2) – периодические функции времени.
4. Пример.
5. Одно уравнение второго порядка.
6. Одно уравнение второго порядка. Случай непериодических фундаментальных решений.
§ 3. Метод Ляпунова
1. Пример.
2. Обсуждение алгоритма.
3. Расчет приближенного решения.
4. Уравнение Дюффинга.
5. Пример неконсервативной системы.
§ 4. Система Ляпунова. Случай произвольного числа степеней свободы
1. Определение.
2. Приведение к каноническому виду.
3. Теорема Ляпунова.
4. Метод Ляпунова.
5. Консервативные системы произвольного числа степеней свободы.
6. Метод Ляпунова в нелинейных консервативных системах.
§ 5. Автоколебания
1. Пример автоколебаний.
2. Формулировка математической задачи.
3. Алгоритм построения автоколебательных режимов в случае квазилинейных систем (метод Пуанкаре).
4. Алгоритм построения автоколебательных режимов в случае систем, близких к консервативным.
5. Пример.
6. Автоколебания в квазилннейных системах со многими степенями свободы.
§ 6. Метод Г. В. Каменкова
1. Квазилинейная теория. Теорема Г. В. Қаменкова.
2. Квазилинейная теория. Расчет периодических решений.
§ 7. Неавтономные квазилинейные системы. Метод Пуанкаре
1. Замечание о линейных системах.
2. Колебания вдали от резонанса.
3. Резонансные колебания. Случай одной степени свободы.
4. Пример: уравнение Ван-дер-Поля.
5. Один специальный случай.
6. О резонансе $n$-го рода.
7. О квазилинейной трактовхе нелинейных уравнений.
§ 8. Неавтономные системы второго порядка, близкие к системам Ляпунова. Метод Малкина
1. Предварительный анализ.
2. Решения $\boldsymbol{x}^{(0)}$ и $\boldsymbol{y}^{(0)}$. Нерезонансный случай.
3. Пример расчета нерезонансных решений.
4. Резонансные режимы в системах, близких к системе Ляпунова.
5. Примеры расчета резонаисных решений уравнения Дюффинга.
6. Еще один пример решений $\boldsymbol{x}^{(0)}$.
7. О решениях, близких к негривиальным решениям системы Ляпунова.
§ 9. Зақлючительные замечания
Глава III АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИИ
Введение
§ 1. Метод Ван-дер-Поля
1. Предварительные замечания.
2. Переменные Ван-дер-Поля.
3. Схема В. М. Волосова.
4. Укороченные уравнения.
5. Стационарные режимы.
6. Пример разрывных правых частей.
7. Диссипативная система.
8. Автоколебательная система.
9. Эквивалентная линеаризация в консервативных системах.
10. Замечание об исследовании устойчивости.
§ 2. Метод Ван-дер-Поля в системах, близких к консервативным
1. Замена переменных.
2. Укороченные уравнения.
3. Пример.
4. Другой подход к решению той же задачи.
5. Примечания.
§ 3. Системы с медленным временем
1. Вывод укороченных уравнений.
2. Адиабатические инварианты.
3. Интеграл действия.
4. Пример использования адиабатических инвариантов.
5. Вычисление амплитуды и энергии.
6. Некоторые обобщения.
7. Задача о маятнике переменной массы.
§ 4. Описание алгоритма асимпготического интегрирования для случая одной быстрой переменной
1. Преобразование переменных.
2. Определение членов разложений.
3. Построение приближенного решения.
4. Оценка точности.
5. Независимость точности приближенного решения от выбора функций $\varphi_{i}$ и $\left.\boldsymbol{\psi}_{i}^{* *}\right)$.
6. Замечание о характере приближенных формул.
7. Метод последовательных приближений.
8. Система стандартного вида.
9. О возможных обобщениях.
10. Замечание об исследовании стационарных режимов.
§ 5. Алгоритм асимптотического интегрирования. Случай нескольких быстрых переменных
1. Система с двумя вращающимися фазами.
2. Метод Фурье.
3. Описание алгоритма в нерезонансном случае.
4. Резонансный случай.
5. Исследование главного резонанса в случае постоянных частот.
6. Общий случай главного резонанса.
7. Комбинационные резонансы.
8. Установившиеся режимы.
9. Вынужденные колебания квазилинейных систем.
10. Резонансные решения уравнения Дюффинга.
11. О кратных резонансах в колебательных системах.
12. Один пример колебательной системы с большим числом степеней свободы.
§ 6. Исследование стационарных точек и устойчивости
1. Предварительные замечания.
2. Исследование устойчивости.

3. Устойчивость тривиального решения системы (6.6).
4. Замечания.
5. Трактовка результатов.
§ 7. Вращательные движения маятника
1. Замечания об изучении колебательных движений маятника.
2. Новые независимые переменные.
3. Построение асимптотики порождающего решения.
4. Вращательные движения математического маятника.
5. Пример маятника, возвращающая сила которого разрывна.
6. Система с вращающимся звеном.
7. Маятник с переменной возвращающей силой.
8. Теория возмущений.
9. Уравнение Ван-дер-Поля.
10. Особенности резонансных явлений в системах с вращающимися звеньями.
11. Метод В. М. Волосова в теории вращательных движений.
12. Заключение.
§ 8. Приложения к задачам динамики орбитальных аппаратов
1. Предварительные замечания.
2. Возмущения кеплеровских орбит.
3. Задача о трансверсальной тяге.
4. Задача о движении спутника на последних оборотах.
5. Задача о движении спутниха в конце последнего оборота.
6. Резонансные задачи в динамике искусственных спутников.
§ 9. Асимптотические методы усреднения в задачах теории оптимального управления
1. Частичное усреднение.
2. О возможных постановках задач оптимального управления для уравнений в стандартной форме.
3. Пример.
$\Gamma Л A B A \quad I V$ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ, СОДЕРЖАЩИХ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
§ 1. Одно уравнение второго порядка
1. WВКЈ-решения.
2. Связь с методом усреднения.
3. Асимптотический характер приближенных формул.
4. Другой метод построения приближенных решений.
§ 2. Однородные системы второго порядка. Случай простых корней
1. Асимптотические решения для одного уравнения второго порядка.
2. Уравнение произвольного ранга.
3. Система второго порядка.
4. Некоторые частные случаи.
5. Система произвольного ранга.
6. Возможные модификации алгоритма построения асимптотических рядов.
§ 3. Однородные системы второго порядка. Случай кратных корней
1.Предварительные замечания.
2. Случай простых элементарных делителей.
3. Один пример механической системы с двумя степенями свободы.
4. Системы произвольного ранга.
5. Пример колебательной системы, элементарные делители которой непростые.
§ 4. Неоднородные уравнения
1. Одно уравнение второго порядка.
2. Система произвольного ранга.
3. Основная теорема.
4. Случай, когда внешние силы осциллируют.
§ 5. Общий случай линейной системы произвольного порядка
1. Общее решение однородной системы в том случае, когда корни простые.
2. Случай кратных корней.
3. Частные решения неоднородных систем.
§ 6. Задача о движении гироскопа под действием момента, изменяющегося зо времени
1. Вывод уравнений.
2. Линеаризация.
3. Случай постоянных параметров.
4. Гироскоп в поле переменной напряженности.
5. Уравнения баллистики.
6. Исследование системы (6.33).
§ 7. Особые случаи (асимптотика и окрестности точек возврата)
1. Предварительные замечания.
2. Эталонное уравнение, формальное построение асимптотических рядов.
3. Асимптотика решений в окрестности точек возврата, в которых корни характеристического уравнения обращаются в нуль.
4. Асимптотические разложения в окрестности точки возврата, где элементарные делители перестают быть простыми.
§ 8. О некоторых способах построения асимптотических представлений в случае кратных элементарных делителей характеристической матрицы
1. Система с одним элементарным делителем произвольной кратности.
2. Пример
3. Пример 2.
4. Случай, когда $\boldsymbol{a}_{m 1}=0$, но $\boldsymbol{a}_{m s} eq 0$.
5. Случай, когда $a_{m 1}=a_{m 2}=0$, но $a_{m s} eq 0$ при $s>2$.
§ 9. Асимптотические методы большого параметра и теория оптимальной коррекции
1. Постановка задачи. Примеры.
2. Некоторые свойства управления консервативными системами.
3. Асимптотическое представление решений одной частной задачи коррекции.