Предыдущие параграфы содержали изложение методов построения асимптотических решений для дифференциальных уравнений второго порядка. Мы показали, что при известных ограничениях, наложенных на коэффициенты этих уравнений, их общее решение может быть выписано в форме квадратур. В некоторых случаях оно может быть выписано даже в явном виде.

Таким образом, мы получили эффективное средство решения задачи Коши для систем второго порядка. В одном случае мы рассмотрели также систему четвертого порядка.

Изложенная методика без каких-либо осложнений, переносится и на общий случай систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих большой параметр. Поэтому при изложении общего случая ограничимся только краткой сводкой правил построения приближенных решений.
Систему $n$-линейных уравнений первого порядка
\[
\dot{y}+A y=0,
\]

где $y$-вектор-функция размерности $n$, а $A=\left\|a_{i j}\right\|$ – квадратная матрица, условимся называть системой ранга $k$, если матрица $A$ имеет вид
\[
\begin{array}{c}
A(\lambda, t)=\lambda^{k}\left(A^{(k)}(t)+\lambda^{-1} A^{(k-1)}(t)+\ldots\right. \\
\left.\ldots+\lambda^{-s} A^{(k-s)}(t)+\lambda^{-s-1} H(t, \lambda)\right) ;
\end{array}
\]

здесь $A^{(i)}$ – матрицы; элементы которых зависят только от времени, а матрица $H(t, \lambda)$ остается ограниченной при $\lambda \rightarrow \infty$ для любого $t \in[0, T]$. Предполагается, что матрица $A^{(k)}$ невырожденная.
Частные решения системы (5.1) будем искать в виде
\[
y=\exp \left\{\int_{0}^{t}\left[\lambda^{k} \mu(t)+\lambda^{k-1} \mu_{1}(t)+\ldots+\lambda \mu_{k-1}(t)\right] d t\right\} z(\lambda, t)
\]

где $\mu$ – корень характеристического уравнения
\[
\left|A^{(k)}+\mu E\right|=0,
\]
$E$ – единичная матрица. Предполагается, что уравнение имеет на всем отрезке $[0, T]$ различные корни. Новая искомая функция $z$ ищется в виде
\[
z(\lambda, t)=z_{0}(t)+\lambda^{-1} z_{1}(t)+\ldots
\]

Цель алгоритма состоит в том, чтобы указать процесс, который каждому корню уравнения (5.3) ставит в соответствие приближенное (асимптотическое) выражение частного решения системы (5.1).

Проведем вычисления для случая $k=2$. Подставляя разложения (5.2) и (5.4) в (5.1), получим следующие уравнения относительно искомых величин:
\[
\begin{array}{c}
\left(A^{(2)}+\mu E\right) z^{(0)}=0 \\
\left(A^{(2)}+\mu E\right) z^{(1)}=-\left(A^{(1)}+\mu E\right) z^{(0)} \\
\left(A^{(2)}+\mu E\right) z^{(2)}=-\left\{z^{(0)}+\left(A^{(1)}+\mu E\right) z^{(1)}+A^{(0)} z^{(0)}\right\} \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Так как $\mu(t)$ – корень характеристического уравнения этой системы, то она разрешима, и компоненты вектора $z^{(0)}$ могут быть определены с точностью до произвольного множителя. Последнее эквивалентно тому, что одна из компонент вектора $z^{(0)}$ остается неопределенной (например, $z_{1}^{(0)}$ ), а остальные могут быть через нее выражены.

В самом деле, система (5.5) может быть теперь переписана в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(a_{22}^{(2)}+\mu\right) z_{2}^{(0)}+a_{23}^{(2)} z_{3}^{(0)}+\ldots=-a_{21}^{(2)} z_{1}^{(0)}, \\
a_{32}^{(2)} z_{2}^{(0)}+\left(a_{23}^{(2,}+\mu\right) z_{3}^{(0)}+\ldots=-a_{31}^{(2)} z_{1}^{(0)}, \\
\cdots \cdots \cdots \\
a_{n 2}^{(2)} z_{2}^{(0)}+\cdots+\left(a_{n n}^{(2)}+\mu\right) z_{n}^{(0)}=-a_{n 1}^{(2)} z_{1}^{(0)} .
\end{array}\right\}
\]

Обозначим через $\Delta_{1 i}$ алгебраичєские дополнения элементов первой строки определителя (5.3); тогда решения системы (5.8) можно представить так:
\[
z_{k}^{(0)}=-\frac{\Delta_{i k}}{\Delta_{11}} z_{1}^{(0)} \quad(k=2,3, \ldots, n) .
\]

Рассмотрим теперь систему (5.6). Поскольку определитель этой системы равен нулю и ранг ее матрицы, по предположению (кратные корни отсутствуют), равен $n-1$, то для разрешимости системы (5.6) необходимо и догтаточно, чтобы ранг расширенной матрицы (матрицы с добавленным столбцом правых частей) также был равен $(n-1)$.

Ранг матрицы $A+\mu E$ равен $n-1$. Следовательно, между элементами ее строк существует линейная зависимость, которую, если воспользоваться разложением определителя $\left|A^{(2)}+\mu E\right|$ по элементам первой строки, можно записать, например, следующим образом:
\[
a_{11}^{(2)}+\mu=c_{2} a_{21}^{(2)}+c_{3} a_{31}^{(2)}+\ldots+c_{n} a_{n 1}^{(2)},
\]

где величины $c_{l}=-\frac{\Delta_{f 1}}{\Delta_{11}}$.
Следовательно, для разрешимости системы (5.6) необходимо и достаточно, чтобы между элементами столбца, стоящего в правой части, также имела место зависимость (5.10)
\[
\begin{aligned}
\left(a_{11}^{(1)}+\mu_{1}\right) z_{1}^{(0)}+a_{12}^{(1)} z_{2}^{(0)}+ & \ldots+a_{1 n}^{(1)} z_{n}^{(0)}= \\
=c_{2}\left\{a_{21}^{(1)} z_{1}^{(0)}\right. & \left.+\left(a_{22}^{(1)}+\mu_{1}\right) z_{2}^{(0)}+\ldots+a_{2 n}^{(1)} z_{n}^{(0)}\right\}+\ldots \\
& \ldots+c_{n}\left\{a_{n 1}^{(1)} z_{1}^{(0)}+\ldots+\left(a_{n n}^{(1)}+\mu_{1}\right) z_{n}^{(0)}\right\} .
\end{aligned}
\]

Если теперь заменить в (5.11) величины $z_{2}^{(0)}, z_{3}^{(0)}, \ldots, z_{n}^{(0)}$ их выражениями (5.9), то величина $z_{1}^{(0)}$ может быть вынесена за скобку и на нее можно сократить, поскольку нас интересуюг ненулевые решения. В результате мы получим соотношение, которое является алгебраическим уравнением первой степени относительно неизвестной величины $\mu_{1}$. Заметим, что функция определяется только коэффициентами матрицы $\mu_{1}(t)$ и не зависит от вектора $z^{(0)}$.

Определив величину $\mu_{1}$, мы может теперь выразить компоненты вектора $z^{(1)}$ через функцию $z_{1}^{(0)}(t)$. При этом компоненты вектора $z^{(1)}(t)$ снова могут быть определены с точностью до произвольной функции. В качестве такой произвольной функции может рассматриваться функция $z_{1}^{(1)}(t)$. Перейдем теперь к системе (5.7). Выпишем условие ге разрешимости
\[
\begin{aligned}
\frac{d z_{1}^{(0)}}{d t}+a_{11}^{(0)} z_{1}^{(0)}+ & \ldots+a_{1 n}^{(0)} z_{n}^{(0)}= \\
= & c_{2}\left\{\frac{d z_{2}^{(0)}}{d t}+a_{21}^{(0)} z_{1}^{(0)}+\ldots+a_{2 n}^{(0)} z_{n}^{(0)}\right\}+\ldots \\
& \ldots+c_{n}\left\{\frac{d z_{n}^{(0)}}{d t}+a_{n 1}^{(0)} z_{1}^{(0)}+\ldots+a_{n n}^{(0)} z_{n}^{(0)}\right\} .
\end{aligned}
\]

Исключая $z_{2}^{(0)}, z_{3}^{(0)}, \ldots, z_{n}^{(0)}$ из (5.12) при помощи (5.9), получаем одно уравнение относительно неизвестной функции $z_{1}^{(0)}(t)$. Это уравнение будет линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Следовательно, его решение будет содержать одну произвольную постоянную.

Уравнения следующих приближений нам дадут возможность определить функции $z_{1}^{(1)}, z_{1}^{(2)}, \ldots$ и т. д. Для определения этих функций мы каждый раз будем получать дифференциальные уравнения первого порядка. Следовательно, на каждом шаге у нас будут появляться новые произвольные постоянные, которые могут быть выбраны по нашему усмотрению. Задав их определенным образом, мы просто фиксируем начальные значения для того вектора $z$, который определяет частное решение, соответствующее выбранному значению корня характеристического уравнения.

Так как подобные рассуждения можно провести для любого корня характеристического уравнения и, по предположению, все его корни различны, то изложенный процесс позволяет построить полную систему линейно независимых решений системы (5.1).