Система (2.10) совершенно аналогична системе (1.7). Подобно ей она также представляет собой систему с вращающейся фазой. Ее правые части являются
*) Мы предполагали, что функция $Q$ является периодической. Для вывода уравнений (2.10) это предположение не требуется. Замена (2.5), (2.6) нас приведет к уравнениям (2.10), каковы бы ни были функции $Q$ и $\boldsymbol{\omega}$.

периодическими функциями $y$ периода $2 \pi$, поскольку таковыми, по предположению, является функция $Q$ и ее частные производные. Следовательно, для исследования этой системы мы можем применить рассуждения Ван-дер-Поля и заменить систему (2.10) укороченными уравнениями, которые в рассматриваемом случае будут иметь следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{2 \pi \Delta} \int_{0}^{2 \pi} \varphi Q_{y} d y, \\
\dot{y}=\omega(x)+\frac{\varepsilon}{2 \pi \Delta} \int_{0}^{2 \pi} \varphi Q_{x} d y
\end{array}\right\}
\]

При выписывании системы (2.11) мы вынесли функцию $\Delta$ изпод знака интеграла. Мы не сделали при этом ошибки, поскольку, как мы сейчас покажем, функция $\Delta$ не зависит от переменной $y$.

Л емма. Функция $\Delta$ зависит только от одной независимой переменной – от амплитуды $x$.

Для доказательства выпишем выражение полной энергии порождающей системы
\[
E=\frac{\dot{z}^{2}}{2}+\int_{0}^{z} f(z) d z
\]

Или, используя общий интеграл порождающего уравнения функцию $Q(x, y)$, получим
\[
E=\frac{1}{2} \omega^{2} Q_{y}^{2}+\int_{0}^{Q} f(Q) d Q
\]

Но функция $Q$ удовлетворяет уравнению
\[
\omega^{2} Q_{y y}+f(Q)=0
\]

для любых $x$. Поэтому, вычисляя $E_{y}$, будем иметь
\[
E_{y}=\omega^{2} Q_{y} Q_{y y}+\frac{d}{d Q} \int_{0}^{Q} f(Q) d Q \frac{d Q}{d y}=Q_{y}\left(\omega^{2} Q_{y y}+f(Q)\right)=0 .
\]

Следовательно, функция $F$ не зависит от фазы $y$, она зависит только от амплитуды $x ; E=E(x)$. Отсюда следует, что и $\Delta$ также не зависит от фазы $y$. В самом деле, последняя величина связана с величиной $E$ очень простым соотношением. Вычислим
\[
E_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2} \omega^{2} Q_{y}^{2}+\int_{0}^{Q} f(Q) d Q\right)=\omega^{\prime} \omega Q_{y}^{2}+\omega^{2} Q_{y} Q_{y x}+Q_{x} f(Q) .
\]

Заменяя $f(Q)$ его выражением из (2.4), получим
\[
E_{x}=-\omega\left\{\left[Q_{x} Q_{y y}-Q_{y} Q_{x y}\right] \omega-\omega^{\prime} Q_{y}^{2}\right\}=-\omega(x) \Delta,
\]

откуда сразу следует, что величина $\Delta$ является функцией одной только амплитуды $x$.

Итак, мы показали, что для нелинейного уравнения второго порядка также могут быть составлены укороченные уравнения Ван-дер-Поля, если только в нашем распоряжении есть интеграл порождающего уравнения (точный или приближенный).