Элементарная теория гироскопа. Если функция $n(t)$ не зависит от времени, то уравнение (4.14) — это уравнение с постоянными коэффициентами и его решение элементарно. Полагая
\[
\zeta=z e^{\mu t}
\]

получим характеристическое уравнение
откуда
\[
\mu^{2}-2 i e \omega \mu-n^{2}=0,
\]
\[
\mu=i e \omega \pm \sqrt{n^{2}-e^{2} \omega^{2}} .
\]

Равенство (6.16) показывает, что если условие
\[
e^{2} \omega^{2} \geqslant n^{2}
\]

не выполнено, то один из корней характеристического уравнения будет иметь положительную действительную часть и, следовательно, «спящее положение» гироскопа будет неустойчивым. Условие (6.17) называется условием устойчивости гироскопа.

Предположим, что условие устойчивости (6.17) выполнено; тогда общее решение уравнения (4.15) можно представить в виде
\[
\zeta=C_{1} \exp \left\{i\left(e \omega+\sqrt{\omega^{2} e^{2}-n^{2}}\right) t\right\}+C_{2} \exp \left\{i\left(e \omega-\sqrt{\omega^{2} e^{2}-n^{2}}\right) t\right\},
\]

где $C_{1}$ и $C_{2}$ — произвольные постоянные, являющиеся комплексными числами
\[
C_{1}=C_{11}+i C_{12}, \quad C_{2}=C_{21}+i C_{22} .
\]

Так как $\zeta=x+i y$, то общий интеграл системы (4.13) можно представить в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
x=C_{11} \cos \left(e \omega+\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t-C_{12} \sin \left(e \omega+\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t+ \\
+C_{21} \cos \left(e \omega-\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t-C_{22} \sin \left(e \omega-\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t \\
y=C_{11} \sin \left(e \omega+\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t+C_{12} \cos \left(e \omega+\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t+ \\
+C_{21} \sin \left(e \omega-\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t+C_{22} \cos \left(e \omega-\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t
\end{array}
\]

Формулы (6.18) можно переписать еще и так:

где
\[
x=x^{(1)}+x^{(2)}, \quad y=y^{(1)}+y^{(2)},
\]
\[
\left.\begin{array}{l}
x^{(1)}=A \cos \left\{\left(e \omega+\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t+\varphi\right\}, \\
y^{(1)}=A \sin \left\{\left(e \omega+\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t+\varphi\right\}, \\
x^{(2)}=B \cos \left\{\left(e \omega-\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t+\psi\right\}, \\
y^{(2)}=B \sin \left\{\left(e \omega-\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}\right) t+\psi\right\},
\end{array}\right\}
\]

здесь $A, B, \varphi$ и $\psi$ — произвольные постоянные, связанные с постоянными $C_{j k}$ формулами
\[
\begin{array}{ll}
A \cos \varphi=C_{11}, & A \sin \varphi=C_{12}, \\
B \cos \psi=C_{21}, & B \sin \psi=C_{22} .
\end{array}
\]

Формулы (6.19) показывают, что движение точки пересечения $\xi^{0}$ с плоскостью, перпендикулярной оси $O z$, описывают некоторую кривую, являющуюся суперпозицией двух вращательных движений. Вращательное движение по окружности с радиусом, равным $A$, и угловой скоростью $\mu_{1}=e \omega+\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}$, именуемое быстрой прецессией, происходит вокруг точки, которая в свою очередь вращается вокруг начала координат по окружности радиуса $B$ с угловой скоростью $\mu_{2}=e \omega-\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}$. Последнее движение называется медленной прецессией.