На некоторое время мы снова вернемся к системе (4.1). В предыдущем параграфе был изложен метод ее асимптотического интегрирования. Существенным элементом изложенного алгоритма была задача определения функции $F(x, y)$, удовлетворяющей следующему дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка:
\[
\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}=V(x, y)-D(x),
\]

где $V(x, y)$ — периодическая функция $y$ периода $T$. Особенность этой задачи состояла в том, что функция $D(x)$ также была неизвестной и находилась из условия ограниченности функции $F(x, y)$ при $y \rightarrow \infty$. В предыдущем параграфе мы изложили способ решения этой задачи. Ее можно решить также и методом Фурье, к изложению которого мы переходим.

Так как функция $V(x, y)$ периодическая по $y$, то она может быть представлена в виде ряда Фурье
\[
V(x, y)=\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty} a_{k}(x) e^{l k l y},
\]

где $l=2 \pi / T$, причем $a_{0}=\frac{l}{2 \pi} \int_{-\pi / l}^{\pi / l} V(x, y) d y=\bar{V}(x)$. У равнение (5.2) перепишем теперь в следующем виде:
\[
\frac{\partial F}{\partial y}=\sum_{k
eq 0} a_{k}(x) e^{i k l y}+\bar{V}(x)-D(x) .
\]

Функция $F$, производная которой по $y$ имеет вид (5.3), может быть представлена в форме ряда
\[
F(x, y)=\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty} b_{k}(x) e^{i k l y}+c(x) y .
\]

Если подставить ряд (5.4) в уравнения (5.3) и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях экспоненты, то найдем неизвестные функции $b_{k}(x)$ и $c(x)$
\[
b_{k}(x)=\frac{a_{k}(x)}{i k l} \quad(k
eq 0), \quad c(x)=\bar{V}(x)-D(x) .
\]

Функция $b_{0}(x)$ определена быть не может — это произвольная постоянная интегрирования.

Из представления (5.4) сразу следуют результаты, которые нами уже были получены другим путем: для того чтобы решение уравнения (5.2) было ограничено при $y \rightarrow \pm \infty$, необходимо и достаточно, чтобы $c \equiv 0$, т. е. чтобы имело место равенство
\[
D(x)=\bar{V}(x) .
\]

При выполнении этого условия решение уравнения (5.2), т. е. функция $F(x, y)$, оказывается периодической функцией $y$.