Напомним теперь некоторые свойства линейных уравнений второго порядка. Рассмотрим сначала уравнение гармонического осцитлятора
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=0 .
\]

Выпишем для него интеграл (1.2), который будем называть интегралом энергии
\[
\frac{\dot{x}^{2}}{2}+\frac{\omega^{2} x^{2}}{2}=C .
\]

Здесь $C$ носит название постоянной энергии.
Так как уравнение (1.3) допускает группу преобразований сдвига $t^{\prime}=t+h$, то без ограничений общности можно принять, что либо $x(0)=0$, либо $\dot{x}(0)=0^{*}$ ). Поэтому в качестве постоянной энергии будем принимать либо начальное значение кинетической энергии $C=T(0)=\frac{1}{2} \dot{x}^{2}(0)$, либо начальное значение потенциальной энергии $C=\Pi(0)=\frac{\omega^{2} x^{2}(0)}{2}$. Разрешая (1.4), относительно $\dot{x}$, получим

где
\[
\dot{x}= \pm \sqrt{2 C-F(x)},
\]
\[
F(x)=2 \int \omega^{2} x d x=\omega^{2} x^{2} .
\]

Рассмотрим фазовую плоскость уравнения (1.3). Фазовые траектории этого уравнения определяются из интеграла энергии. Қак уже указывалось, они образуют некоторое однопараметрическое семейство кривых, зависящих от постоянной $C$. В плоскости $(F, x)$ начертим сначала кривую $F=F(x)$. Проведем затем прямую $F=2 C$, разность $2 C-F(x)$ будет равна $\dot{x}^{2}$. Порядок построения этих кривых ясен из рис. 2. Легко убедиться в том, что фазовые траектории целиком заполняют плоскость $(x, y=\dot{x})$ – каждой паре значений $x$ и $y$ отвечает единственное значение постоянной энергии $C$.

Мы видим, что все фазовые траектории – замкнутые кривые. Это значит,

Рис. 2. что все решения уравнения (1.3) периодические. Поясним еще раз это обстоятельство. Двигаясь вдоль фазовой траектории, изображающая точка через некоторое время снова вернется в исходное состояние $x=x_{0}, \dot{x}=y_{0}$. Поскольку уравнение (1.3) не содержит времени, то условия $x=x_{2}, \dot{x}=y_{0}$ будут порождать то же движение, которое только что закончилось в этой точке. Так как изображаюјцая точка в верхней
*) Последнее означает, что любое движение с заданной энергией $C$, описываемое уравнением (1.3), можно получить из найденного простой заменой $t \rightarrow t+h$, где $h$ – неколорая постояниая.

полуплоскости движется (при изменении $t$ ) в сторону возрастающих значений переменного $x$, а в нижней – в сторону убывающих $x$, то вдоль фазовой траектории изображающая точка движется в направлении, указанном стрелкой (см. рис. 2).

Для данного значения постоянной энергии $C$ действительные ветви кривой (1.4) существуют только для тех $x$, для которых $F(x)>2 C$. Точка $x=\dot{x}=0$ определяет положение равновесия. В самом деле, поскольку при $x=0$ ускорение $\ddot{x}=0$ также равно нулю, то точка, имеющая скорость, равную нулю, и занимающая в некоторый момент положение $x=0$, будет оставаться всегда в этом положении.

Точка $x=\dot{x}=0$ будет особой точкой для уравнения (1.3), поскольку в ней не определено значение касательной к фазовой траектории
\[
\frac{d \dot{x}}{d x}=-\frac{\omega^{2} x}{\dot{x}} .
\]

Особая точка, в любой достаточно малой окрестности которой все фазовые траектории замкнуты, называется центром, следо-
Рис. 3. вательно, точка $x=\dot{x}=0$ является особой точкой типа центр.
Из определения следует, что всегда можно задать начальное положение изображающей точки (не совпадающей с центром) так, чтобы в любой момент времени эта точка осталась бы в заданной окрестности центра. Поэтому центр является устойчивой особой точкой.
Если в уравнении (1.3) мы изменим знак перед вторым членом, то это приведет к изменению знака функции $F(x)$. Фазовая плоскость для этого случая изображена на рис. 3.

Мы видим, что все траектории будут незамкнутыми, т. е. соответствующие им движения – апериодические. Точка $x=\dot{x}=0$ также будет особой точкой уравнения (1.3) и будет определять положение равновесия. Особая точка, в окрестности которой фазовые траектории ведут себя подобно тому, как это показано на рис. 3, называется седлом. Фазовые траектории, отвечающие значению $C=C_{3}$, проходят через начало координат (через седловую точку). Они образуют кривую, называемую сепаратрисой (от французского слова séparer – разделять). Ветви сепаратрисы отделяют фазовые траектории, пересекающие ось абсцисс, от области, занятой фазозыми траекториями, которые ось абсцисс не пересекают. Изображающая точка, не лежащая на сепаратрисе и начальное положение которой сколь угодно близко к особой точке типа седла, за достаточно большой промежуток времени всегда выйдет из любой окрестности этой точки. Поэтому седло является неустойчивой особой точкой. Итак, в зависимости от знака перед $\omega^{2} x$ уравнение
\[
\ddot{x} \pm \omega^{2} x=0
\]

имеет либо замкнутые фазовые траектории (либрационные или периодические движения), либо неограниченные (апериодические).

Разумеется, этот результат иожно получить непосредственно, поскольку решение уравнения (1.5) выписывается в явном виде
\[
x=A \cos (\omega t+h)
\]

в случае, если перед вторым слагаемым стоит знак плюс, или
\[
x=C_{1} e^{\omega t}+C_{2} e^{-\omega t}
\]

в случае знака минус. Отсюда для колебательных движений период $T=2 \pi / \omega$, т. е. он определяется только интенсивностью возвращающей силы ө и не зависит от энергии системы.

Таким образом, амплитуда – максимальное отклонение от положения равновесия и период колебаний в линейных системах друг от друга не зависит. Как следует из (1.4), максимальное отклонение от положения равновесия определяется только постоянной энергии (при заданном $\omega$ ). В самом деле, максимальное отклонение изображающей точки от положения равновесия будет при $\dot{x}=0$. Следовательно,
\[
x_{\max }=\sqrt{\frac{2 C}{\omega^{2}}} .
\]

Таким образом, период колебаний $T$ и максимальное отклонение (амплитуда) не связаны между собой. Такое свойство линейных колебательных систем (независимость периода от энергии) называется изохронностью.

Напомним еще о характере вынужденных колебаний линейного осциллятора. Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=\mu \cos \sigma t,
\]

общее решєние которого имеет вид
\[
x=\frac{\mu}{\omega^{2}-\sigma^{2}} \cos \sigma t+A \cos (\omega t+h) .
\]

Отсюда следует, что при $\sigma \rightarrow \omega$ для любого фиксированного значения времени $t$ стационарное решение (1.6′) стремится к бесконечности. Это значит, что при $\sigma=\omega$ решений вида (1.6 ) уравнение (1.6) не допускает. Известно, что в этом случае решение уравнения (1.6) содержит слагаемое
\[
\tilde{x}=\frac{\mu t}{2 \sigma} \sin \sigma t
\]

и, следовательно, будет неограниченно возрастать при $t \rightarrow \infty$.