Рассмотрим еще один пример подобный системы
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=\lambda \mu x_{1}+\lambda x_{2}, \\
\dot{x}_{2}=\lambda \mu x_{2}+\lambda x_{3}+b x_{1}, \\
\dot{x}_{3}=\lambda \mu x_{3}+a x_{1}+c x_{2} .
\end{array}\right\} .
\]

Асимптотические представления должны иметь вид
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=\left(u_{10}+\lambda^{-1 / 3} u_{11}+\lambda^{-2 / 3} u_{12}+\ldots\right) \exp \int_{0}^{t}\left(\lambda \mu+\lambda^{2 / 3} \varphi_{0}+\lambda^{1 / 3} \varphi_{1}\right) d t, \\
x_{2}=\left(\lambda^{-1 / 3} u_{20}+\lambda^{-2 / 3} u_{21}+\lambda^{-1} u_{22}+\ldots\right) \exp \int_{0}^{t}\left(\lambda \mu+\lambda^{2 / 3} \varphi_{0}+\lambda^{1 / 3} \varphi_{1}\right) d t, \\
x_{3}=\left(\lambda^{-2 / 3} u_{30}+\lambda^{-1} u_{31}+\lambda^{-4 / 3} u_{32}+\ldots\right) \exp \int_{0}^{t}\left(\lambda \mu+\lambda^{2 / 3} \varphi_{0}+\lambda^{1 / 3} \varphi_{1}\right) d t .
\end{array}
\]

В этом случае
\[
\varphi_{0}=a^{1 / 3}
\]

и уравнение (8.10) нам даст $u_{20}=a^{1 / 3} u_{10}, u_{30}=a^{2 / 3} u_{10}$ и т. д. Уравнения относительно переменных $u_{11}, u_{21}$ и $u_{31}$ будут такими:
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{11} \varphi_{0}=u_{21}-u_{10} \varphi_{1}, \\
u_{21} \varphi_{0}=u_{31}+b u_{10}-\varphi_{1} u_{20}, \\
u_{31} \varphi_{0}=a u_{11}+c u_{20}-\varphi_{1} u_{30} .
\end{array}\right\}
\]

Условие разрешимости системы (8.24)

даст
\[
\varphi_{1}\left(u_{10} \varphi_{0}^{2}+u_{20} \varphi_{1}+u_{30}\right)=b u_{10} \varphi_{0}+c u_{20}
\]
\[
\varphi_{1}=\frac{b+c}{3 \varphi_{0}}=\frac{b+c}{3 \sqrt{a}} .
\]

Составим теперь уравнения, которым должны удовлетворять функции $u_{i 2}$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{12} \varphi_{0}=u_{22}-u_{11} \varphi_{1}-\dot{u}_{10}, \\
u_{22} \varphi_{0}=u_{32}-u_{21} \varphi_{1}-\dot{u}_{20}+b u_{11}, \\
u_{32} \varphi_{0}=a u_{12}-u_{31} \varphi_{1}-\dot{u}_{30}+c u_{21} .
\end{array}\right\}
\]

Условие разрешимости (8.25) выражается соотношением
\[
\varphi_{1}\left(u_{11} \varphi_{0}^{2}+u_{21} \varphi_{0}+u_{31}\right)=b u_{11} \varphi_{0}+c u_{21}-\dot{u}_{10} \varphi_{0}^{2}-\dot{u}_{20} \varphi_{0}-\dot{u}_{30} .
\]

Если теперь подставить в это выражение значение $\varphi$ и величин
\[
\begin{array}{l}
u_{21}=u_{11} \varphi_{0}+u_{10} \varphi_{1}, \\
u_{31}=u_{11} \varphi_{0}^{2}+2 u_{10} \varphi_{0} \varphi_{1}-b u_{10}
\end{array}
\]

и привести подобные члены, то мы увидим, что все слагаемые, не содержащие производных, обратятся в нуль. Итак, условие разрешимости будет приведено к следующему виду:
\[
\dot{u}_{30}+\dot{u}_{10} \varphi_{0}^{20}+\dot{u}_{20} \dot{\varphi}_{0}=0 .
\]

Заменяя в уравнении (8.26) $u_{20}$ и $u_{30}$ по формулам
\[
\begin{array}{l}
u_{20}=u_{10} \varphi_{0}, \\
u_{30}=u_{10} \varphi_{0}^{2},
\end{array}
\]

мы получим одно дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции $u_{10}$

откуда
\[
\dot{u}_{10} \varphi_{0}+u_{10} \dot{\varphi}_{0}=0,
\]
\[
u_{10}=\frac{1}{\varphi_{0}}=\frac{1}{\sqrt[3]{a(t)}} .
\]

Итак, первые члены разложений решения системы (8.23) мы можем представить в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\frac{1}{\sqrt[3]{a(t)}} \exp \int_{0}^{t}\left\{\lambda \mu+\lambda^{2 / 3} \sqrt[3]{a(t)}+\lambda^{1 / 3} \frac{b(t)+c(t)}{\sqrt{a(t)}}\right\} d t, \\
x_{2}=\frac{\lambda^{-1 / 3}}{\sqrt[3]{a^{2}(t)}} \exp \int_{0}^{t}\left\{\lambda \mu+\lambda^{2 / 3} \sqrt[3]{a(t)}+\lambda^{1 / 3} \frac{b(t)+c(t)}{\sqrt[3]{a(t)}}\right\} d t, \\
x_{3}=\frac{\lambda^{-2 / 3}}{a(t)} \exp \int_{0}^{t}\left\{\lambda \mu+\lambda^{2 / 3} \sqrt[3]{a(t)}+\lambda^{1 / 3} \frac{b(t)+c(t)}{\sqrt[3]{a(t)}}\right\} d t .
\end{array}
\]

Придавая корню из $a(t)$ все его три возможных значения, мы получим полную систему линейно независимых решений системы (8.23).

Примечание. Формулы (8.26) дают нам только первые члены разложений каждой из функций $x_{i}$. Для того чтобы использовать их для решения конкретных задач (например, задачи Коши или краевой задачи), надо выписать величины $x_{i}$ $(i=1,2,3)$ с одинаковой погрешностью. Если мы условились удерживать члены порядка $\lambda^{-2 / 3}$, то в разложении $x_{1}$ мы должны вычислить три первых члена, в $x_{2}$ – два, а выражение $x_{3}$ записать в том виде, в каком оно дано формулой (8.26).