Рассмотрим теперь простейшее нелинейное уравнение – так называемое урав-
Рис. 4.
нение Дюффинга
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x+\mu x^{3}=0 .
\]
Изучим структуру его фазовой плоскости. Интеграл энергии для уравнения (1.7) имеет вид
\[
\frac{1}{2} \dot{x}^{2}+\Pi=C,
\]
где $П$ – потенциальная энергия
\[
\Pi=\frac{\omega^{2} x^{2}}{2}+\frac{\mu x^{4}}{4} .
\]
Следсвательно,
\[
x= \pm \sqrt{2(C-\Pi)} .
\]
Таким образом, фазовая траектория уравнения (1.7) состоит из двух ветвей, причем действительные участки ветвей будут существовать только для тех значений $x$, для которых П $<C$. Пусть $\mu>0$ и $\omega^{2}>0$. Для этого случая фазовая плоскость изображена на рис. 4. Графическое построение нам показывает, что все фазовые траектории замкнуты, т. е. все решения уравнения (1.7) периодические. Таким образом, фазовая плоскость (1.7) будет идентична фазовой плоскости линейного осциллятора. Однако, как мы увидим ниже, колебания, описываемые уравнением (1.7), обладают одним свойством, качественно отличающим эти движения от линейных колебаний: период движений, изображенных на рис. 4 , зависит от амплитуды.
Если $\mu<0$, то фазовая плоскость перестает быть похожей на фазовую плоскость линейного осциллятора. Она изображена на рис. 5. Мы видим, что малым энергиям системы соответствуют периодические движения в окрестности положения равновесия и движение в этом случае качественно напоминает гармонические колебания. Этого можно было ожидать заранее, поскольку для малых отклонений роль слагаемого $\mu x^{3}$ мала.
При увеличении начальной энергии системы, замкнутая кривая в фазовой плоскости все больше будет отличаться от эллипса. Существует критическое значение энергии $C^{*}$ такое, что для любой начальной энергии $C>C^{*}$ в системе, которая описывается уравнением (1.7), не могут существовать периодические движения. Зндчение $C^{*}$ нетрудно вычислить. Оно равно максимуму П. Этот максимум достигается при $x= \pm \frac{\omega}{\sqrt{\mu}}$ и равен $C^{*}=\frac{\omega^{4}}{4|\mu|}$. Если $C>C^{*}$, то движения становятся неограниченными: $|x| \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$. Как это видно из чертежа, неограниченные движения могут существовать также и при значениях $C$, меньших критического. В самом деле, для любого $C<C^{*}$ можно указать такое $x$, что разность $C-\Pi(x)$ будет положительной. Но этим движениям при $\dot{x}=0$ соответствуют большие начальные отклонения $x_{0}$, т. е. поле, напряженность которого равна $\omega^{2} x-|\mu| x^{3}, \quad$ выталкивает точку, если она находится достаточно далеко от начала координат.
Значению $C=C^{*}$ соответствует фазовая траектория, которая является сепаратрисой. Сепаратриса, в частности, отделяет область начальных состояний, которым соответст-
Рис. 5.
вуют периодические движения, от области начальных условий, которым соответствуют неограниченные движения.
Сепаратриса пересекает ось $O x$, точка пересечения сепаратрисы с осью абсцисс также является положением равновесия $(\dot{x}=0$ и $\ddot{x}=0)$. Как это видно из чертежа, эта точка является седлом, т. е. в ее окрестности система, описываемая нелинейным уравнением (1.7), ведет себя, как линейный осциллятор, у которого изменен знак внешней силы.
Рассмотрим еще одно видоизменение уравнения Дюффинга
\[
\ddot{x}-\omega^{2} x+\mu x^{3}=0,
\]
где $\mu>0$, а $\omega^{2}$ по-прежнему положительно. Фазовая плоскость этого уравнения изображена на рис. 6 .
Мы видим, что в этом случае фазовая плоскость содержит два положения устойчивого равновесия – это точки $O_{1}\left(-\frac{\omega}{\sqrt{\mu}}, 0\right)$ и $O_{2}\left(\frac{\omega}{\sqrt{\mu}}, 0\right)$, в окрестности которых фазовые траектории имеют форму, близкую к эллипсу. Кроме того, на фазовой плоскости есть еще одно положение равновесия. Это начало координат. Точка $O$ определяет неустойчивое положение равновесия. Действительно, изображающая точка, которая в начальный момент находится сколь угодно близко к началу координат, с течением времени удалится от начала координат на конечное
Рис. 6. расстояние. Пусть, например, изображающая точка в начальный момент имеет координаты $(0, \delta)$. Эта точка будет двигаться вдоль фазовой траектории, и ее расстояние до начала координат будет превосходить в отдельные отрезки времени число $\sqrt{\frac{2 \omega}{\mu}}$, как бы мало $\delta$ ни было. Очевидно, что такое движение неустойчиво. Фазовая траектория, которая проходит через начало координат является сепаратрисой. В этом случае она отделяет одну область периодических движений от другой области движений, также периодических, так как система (1.8) допускает только периодические движения.
