Рассмотрим функцию $I(x, \tau)$, опреде, ленную равенством
\[
I(x, \tau)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \omega(x, \tau) Q_{y}^{2}(x, y, \tau) d y .
\]

Функция (3.6) называется интегралом действия. Свое название это выражение оправдывает тем, что $I(x, \tau)$ является интегралом порождающего уравнения. В самом деле, при $\tau=$ const «амплитуда» – величина постоянная, поэтому и $I(x, \tau)$ также является постоянной.

Покажем, что интеграл действия является адиабатическим инвариантом. Для этого найдем полную производную по времени
\[
\frac{d I}{d t}=I_{x} \dot{x}+I_{\tau} \varepsilon .
\]

Вычислим частные производные $I_{x}$ и $I_{\tau}$ и подставим их в это выражение. В результате мы получим
\[
\frac{d I}{d t}=\frac{\dot{x}}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\omega_{x} Q_{y}^{2}+2 \omega Q_{y} Q_{x y}\right) d y+\frac{\varepsilon}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(Q_{y}^{2} \omega_{\tau}+2 \omega Q_{y} Q_{y \tau}\right) d y .
\]

Преобразуем второе слагаемое в первом интеграле, проинтегрировав его по частям
\[
\int_{0}^{2 \pi} Q_{g} Q_{x y} d y=\left.Q_{y} Q_{x}\right|_{y=0} ^{y=2 \pi}-\int_{0}^{2 \pi} Q_{y y} Q_{x} d y .
\]

Но первое слагаемое равно нулю, поскольку $Q$ – периодическая функция; следовательно,
\[
\int_{0}^{2 \pi} Q_{y} Q_{x y} d y=-\int_{0}^{2 \pi} Q_{y y} Q_{x} d y .
\]

Используя это выражение, мы можем преобразовать первый из интегралов, входящих в правую часть (3.7)
\[
\begin{aligned}
I_{1}=\frac{\dot{x}}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\omega_{x} Q_{y}^{2}+2 \omega Q_{y} Q_{x y}\right) d y & = \\
& =\frac{\dot{x}}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\omega_{x} Q_{y}^{2}-\omega\left(Q_{y y} Q_{x}-Q_{y} Q_{x y}\right)\right\} d y .
\end{aligned}
\]

Но по определению
\[
\omega_{x} Q_{y}^{2}-\omega\left(Q_{y y} Q_{x}-Q_{y} Q_{x y}\right)=-\Delta .
\]

Таким образом,
\[
\frac{\dot{x}}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\omega_{x} Q_{y}^{2}+2 \omega Q_{y} Q_{x y}\right) d y=-\frac{\dot{x}}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Delta d y .
\]

Величина $\Delta$ от фазы $y$ не зависит, поэтому
\[
\frac{\dot{x}}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(Q_{y}^{2} \omega_{x}+2 \omega Q_{y} Q_{x y}\right) d y=-\dot{x} \Delta .
\]

Аналогично проведем вычисление второго слагаемого
\[
\begin{aligned}
I_{2}= & \frac{\varepsilon}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\omega_{\tau} Q_{y}^{2}+2 \omega Q_{y} Q_{y \tau}\right) d y= \\
& =\frac{\varepsilon}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\omega_{\tau} Q_{y}^{2}-\omega Q_{y y} Q_{\tau}+\omega Q_{y} Q_{y \tau}\right) d y=-\frac{\varepsilon}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \xi_{1}(x, y, \tau) d y .
\end{aligned}
\]

Итак, окончательно
\[
\frac{d I}{d t}=-\Delta \dot{x}-\frac{\varepsilon}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \xi_{1}(x, y, \tau) d y .
\]

Іодставляя в (3.8) выражение для $\dot{x}$, которое дается первым из уравнений (3.4)
\[
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{2 \pi \Delta} \int_{0}^{2 \pi} \varphi Q_{y} d y-\frac{\varepsilon}{2 \pi \Delta} \int_{0}^{2 \pi} \xi_{1} d y,
\]

получим
\[
\frac{d I}{d t}=\frac{\varepsilon}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(x, y, \tau) Q_{y} d y .
\]

Отсюда сразу следует, что если $\varphi \equiv 0$, то величина интеграла действия сохраняет свое значение. Итак, интеграл действия является адиабатическим инвариантом порождающего уравнения.