Среди задач динамики механических систем с одной степенью свободы трудно найтх интересный пример системы, у которой корень характєристического уравнения двукратный, а элементарные делители простые. В динамике систем со многими степенями свободы примеров таких систем очень много. Прежде всего это любые консервативные колебательные системы с кратными собственными частотами. Поэтому в качестве примера, иллюстрирующего приложение развиваемой теории, мы рассмотрим следующую систему уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}+\lambda^{2} \omega^{2}(t) x+\lambda a y=0, \\
\ddot{y}+\lambda^{2} \omega^{2}(t) y+\lambda b x=0 .
\end{array}\right\}
\]

Система (3.11) встречается в разнообразных технических задачах.
Рассмотрим, например, колебатель-
ное движение оперенного снаряда. Если тело, изображенное на рис. 39 , движется в воздухе в направлении вектора $z^{0}$, то на него действует аэродинамический момент $M$. Этот момент при наличии стабилизатора создает восстанавливающий аэродинамический момент, действующий в плоскости угла атаки $v$-угла, заключенного между вектором $z^{0}$ и осью симметрии этого тела $\xi^{0}$, если оно ею обладает. Условимся считать, что тело не вращается вокруг оси $\xi^{0}$; тогда рассматриваемая система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат этой системы естественно принять направляющие косинусы вектора $\xi^{0}$. $x=\cos \left(\boldsymbol{\xi}^{\widehat{0}} \boldsymbol{x}^{0}\right)$ и $y=\cos \left(\xi^{0} \boldsymbol{y}^{\circ}\right)$.

Если тело обладает осевой симметрией, то в линейной постановке (при малых углах атаки $v$ ) система уравнений движения распадается на два независимых уравнения относительно обеих обобщенных координат
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}+\lambda^{2} \omega^{2}(t) x=0, \\
\ddot{y}+\lambda^{2} \omega^{2}(t) y=0 .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $\lambda^{2} \omega^{2}$ – отношение восстанавливающего момента к экваториальному моменту инерции. Во многих случаях этот момент предполагается большим, и следовательно, движение является высокочастотным.

Если тело обладает малой асимметрией, то мы должны уже рассматривать вместо системы (3.12) систему (3.11). Обозначим
\[
x=x_{1}, \quad y=x_{3}
\]

и перепишем эту систему в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=\lambda x_{2}, \quad \dot{x}_{2}=-\lambda \omega^{2} x_{1}-a x_{3} \\
\dot{x}_{3}=\lambda x_{4}, \quad \dot{x}_{4}=-\lambda \omega^{2} x_{3}-b x_{1} .
\end{array}\right\}
\]

Система (3.13) является обобщением рассмотренной: она имеет два корня, кратность каждого из которых равна двум. При этом элементарные делители характеристической матрицы простые.

В этом можно убедиться следующим образом. Сделаем в системе (3.11) замену переменных
\[
\begin{array}{ll}
x=\xi_{1}+\xi_{3}, & \dot{x}=i \lambda \omega\left(\xi_{1}-\xi_{3}\right), \\
y=\xi_{2}+\xi_{4}, & \dot{y}=i \lambda \omega\left(\xi_{2}-\xi_{4}\right) .
\end{array}
\]

Тогда система (3.11) преобразуется так:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi_{1}=i \lambda \omega \xi_{1}+\ldots \\
\xi_{2}=i \lambda \omega \xi_{2}+\ldots \\
\ddot{\xi}_{3}=-i \lambda \omega \xi_{3}+\ldots \\
\dot{\xi}_{4}=-i \lambda \omega \xi_{4}+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Точками здесь обозначены члены, не содержащие $\lambda$. Характеристическая матрица этой системы приведена к диагональной форме
\[
\left|\begin{array}{llll}
i \omega-\mu & & & \\
& i \omega-\mu & & \\
& & -i \omega-\mu & \\
& & -i \omega-\mu
\end{array}\right|
\]

Вернемся снова к системе (3.13), которая удобнее для использования, чем система (3.11). Ее характеристическое уравнение имеет вид
\[
\Delta(\mu)=\left\|\begin{array}{cccc}
\mu & -1 & 0 & 0 \\
\omega^{2} & \mu & 0 & 0 \\
0 & 0 & \mu & -1 \\
0 & 0 & \omega^{2} & \mu
\end{array}\right\|=0 .
\]

Корни уравнения (3.14) таковы:
\[
\text { iд9., } \quad \mu_{1}=+i \omega, \quad \mu_{2}=+i \omega, \quad \mu_{3}=-i \omega, \quad \mu_{4}=-i \omega .
\]

Итак, пусть $\mu$-один из корней этого уравнения. Следуя общей схеме, сделаем замену переменных
\[
x_{i}=\exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\} z_{i} \quad(i=1,2,3,4) .
\]

После замены (3.15) система (3.13) примет форму
\[
\left.\begin{array}{l}
\mu z_{1}-z_{2}=-\frac{1}{\lambda} \dot{z}_{1}, \\
\omega^{2} z_{1}+\mu z_{2}=-\frac{1}{\lambda}\left[\dot{z}_{2}+a z_{3}\right], \\
\mu z_{3}-z_{4}=-\frac{1}{\lambda} \dot{z}_{3}, \\
\omega^{2} z_{3}+\mu z_{4}=-\frac{1}{\lambda}\left[\dot{z}_{4}+b z_{1}\right] .
\end{array}\right\}
\]

Решение системы (3.16) будем искать в виде рядов, расположенных по обратным степеням параметра $\lambda$
\[
z_{i}=z_{i 0}+\frac{1}{\lambda} z_{i 1}+\ldots
\]

Для функций $z_{i 0}$ мы получаем систему
\[
\left.\begin{array}{l}
\mu z_{10}-z_{20}=0, \\
\omega^{2} z_{10}+\mu z_{20}=0, \\
\mu z_{30}-z_{40}=0, \\
\omega^{2} z_{30}+\mu z_{40}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Так как $\mu^{2}=\omega^{2}$, то система (3.18) всегда разрешима, причем два из четырех неизвестных могут быть выбраны по произволу.
Условимся для определенности, что
\[
\mu=i \omega
\]

тогда
\[
z_{20}=i \omega z_{10}, \quad z_{40}=i \omega z_{30} .
\]

Составим теперь уравнения для $z_{i 1}$
\[
\left.\begin{array}{l}
\mu z_{11}-z_{21}=-\dot{z}_{10}, \\
\omega^{2} z_{11}+\mu z_{21}=-\dot{z}_{20}-a z_{30}, \\
\mu z_{31}-z_{41}=-\dot{z}_{30}, \\
\omega^{2} z_{31}+\mu z_{41}=-\dot{z}_{40}-b z_{10} .
\end{array}\right\}
\]

Система (3.20) распадается на две независимыс системы уравнений, определитель қаждой из которых равен нулю. Условия их разрешимости приводят к слстеме двух дифференциальных уравнений первого порядка
\[
\left.\begin{array}{l}
-\dot{z}_{10} \omega^{2}+\mu \dot{z}_{20}+a \mu z_{30}=0, \\
-\dot{z}_{30} \omega^{2}+\mu \dot{z}_{40}+b \mu z_{10}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Делая замену (3.19), получим
\[
\left.\begin{array}{l}
-2 \dot{z}_{10} \omega^{2}-\omega \dot{\omega} z_{10}+i a \omega z_{30}=0, \\
-2 \dot{z}_{30} \omega^{2}-\omega \dot{\omega} z_{3 C}+i b \omega z_{10}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Сделаем в этом уравнении еще одну замену
\[
z_{10}=i z_{10}^{*},
\]

после чего система (3.22) будет выглядеть так:
\[
\left.\begin{array}{l}
-2 \dot{z}_{10}^{*} \omega^{2}-\omega \dot{\omega} z_{10}^{*}+a \omega z_{30}=0, \\
-2 \dot{z}_{30} \omega^{2}-\omega \dot{\omega} z_{33}-b \omega z_{10}^{*}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Теперь в уравнении (3.21) положим
\[
\mu=-i \omega
\]

и соответственно
\[
z_{20}=-i \omega z_{10}, \quad z_{40}=-i \omega z_{30},
\]

в результате мы получим
\[
\begin{array}{l}
-2 \dot{z}_{10}-\omega \dot{\omega} z_{10}-i b \omega z_{30}=0, \\
-2 \dot{z}_{30}-\omega \dot{\omega} z_{30}-i b \omega z_{10}=0 .
\end{array}
\]

В этих уравнениях сделаем такую замену:
\[
z_{10}=-i z_{10}^{*} .
\]

Тогда эта система будет снова сведена к системе (3.23). Система уравнений (3.23) – это система двух линейных уравнений первого порядка. Обозначим через
\[
z_{1}^{*(1)}, \quad z_{3}^{(1)} ; \quad z_{1}^{*(2)}, \quad z_{3}^{(2)}
\]

систему ее фундаментальных решений. В общем случае эти решения нельзя получить ни в квадратурах, ни тем более в явном.
Однако решения системы (3.23) – это медленно меняющиеся функции, и их определение численными методами не представляет труда.

Построим теперь систему фундаментальных решений для уравнения (3.13). Заметим сначала, что функции
\[
\begin{array}{l}
x_{11}^{*}=i z_{1}^{*(1)} \exp \left\{i \lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\}, \\
x_{31}^{*}=z_{3}^{(1)} \exp \left\{i \lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\}
\end{array}
\]

и функции
\[
\begin{array}{l}
x_{12}^{*}=-i z_{1}^{*(1)} \exp \left\{-i \lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\}, \\
x_{32}^{*}=z_{3}^{(1)} \exp \left\{-i \lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\}
\end{array}
\]

являются частными решениями системы (3.13). Вместо этих функций введем другие
\[
\begin{array}{l}
x_{11}=-\frac{x_{11}^{*}+x_{12}^{*}}{2}=\sin \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{1}^{*(1)}, \\
x_{31}=-\frac{x_{31}^{*}+x_{32}^{*}}{2}=-\cos \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{3}^{(1)}, \\
x_{12}=\frac{x_{11}^{*}-x_{12}^{*}}{2}=\cos \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{1}^{*(\mathrm{I})}, \\
x_{32}=\frac{x_{31}^{*}-x_{32}^{*}}{2}=\sin \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{3}^{(1)} .
\end{array}
\]

Вычисляя подобным способом остальные частные решения, мы придем к следующему выражению для асимптотического представления общего решения:
\[
\begin{aligned}
x_{1}= & A \sin \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{1}^{*(1)}(t)+B \cos \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{1}^{*(1)}(t)+ \\
& +C \sin \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{1}^{*(2)}(t)+D \cos \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{1}^{*(2)}(t), \\
x_{3}= & \left.-A \cos \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{3}^{(1)}(t)+B \sin \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{3}^{(1)}(t)-\right\} \\
& -C \cos \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{3}^{(2)}(t)+D \sin \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} z_{3}^{(2)}(t)
\end{aligned}
\]

Аналогичные выражения мы будем иметь и для переменных $x_{2}$ и $x_{4}$. Здесь $A, B, C$ и $D$ – произвольные постоянные.

Итак, применяя асимптотические методы, численное интегрирование системы четвертого порядка (3.11), решение которого быстро осциллирует, мы свели к численному решению системы второго порядка (3.23) относительно «медленных» переменных.

Примечание. Систему двух уравнений (3.11) мы заменили системой четырех уравнений (3.13). Разумеется, все вычисления могли быть проведены и для исходной системы.