Следуя общей схеме, положим
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =\bar{x}+\varepsilon u_{1}(\bar{x}, \bar{z})+\varepsilon^{2} u_{2}(\bar{x}, \bar{z})+\ldots, \\
z & =\bar{z}+\varepsilon v_{1}(\bar{x}, \bar{z})+\varepsilon^{2} v_{2}(\bar{x}, \bar{z})+\ldots,
\end{array}\right\}
\]
где функции $\bar{x}$ и $\bar{z}$ удовлетворяют следующим уравнениям:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\bar{x}}=\varepsilon A_{1}(\bar{x})+\varepsilon^{2} A_{2}(\bar{x})+\ldots, \\
\dot{\bar{z}}=1+\varepsilon B_{1}(\bar{x})+\varepsilon^{2} B_{2}(\bar{x})+\ldots
\end{array}\right\}
\]
Қак и во всех других случаях, мы будем считать функции $u_{i}$ и $v_{i}$ ограниченными. Далее, для того чтобы удовлетворить условиям (7.9), примем
\[
u_{i}(\bar{x}, 0)=v_{i}(\bar{x}, 0)=0 .
\]
Уравнение для определения функций $u_{i}, v_{i}, A_{i}$ и $B_{i}$ будут в этой задаче такими:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{z}}=f(\bar{z})-A_{1}(\bar{x}), \quad \frac{\partial v_{1}}{\partial \bar{z}}=\bar{x}-B_{1}(\bar{x}) \\
\frac{\partial u_{2}}{\partial \bar{z}}=-\frac{\partial f}{d \bar{z}} v_{1}-\frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{x}} A_{1}-\frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{z}} B_{1}-A_{2}(\bar{x}), \\
\frac{\partial v_{2}}{\partial \bar{z}}=u_{1}-\frac{\partial v_{1}}{\partial \bar{x}} A_{1}-\frac{\partial v_{1}}{\partial \bar{z}} B_{1}-B_{2}(\bar{x})
\end{array}\right\}
\]
и т. д.
Рассмотрим первое из уравнений системы (7.14). Для ограниченности функций $u_{1}$ необходимо и достаточно, чтобы
\[
A_{1}(\bar{x})=-\bar{f}
\]
Но, согласно условию (7.2), $\bar{f}=0$. Таким образом,
\[
1_{1}=0 \text {. }
\]
Отсюда
\[
u_{1}(\bar{x}, \bar{z})=-\int_{0}^{\bar{z}} f(z) d z+C(\bar{x}),
\]
где $C(\bar{x})$ – произвольная функция $\bar{x}$. Однако условие (7.13) нам сразу дает
\[
C(\bar{x}) \equiv 0 .
\]
Введем обозначение
\[
\int_{0}^{\eta} f(\eta) d \eta=\Psi(\eta), \quad \int_{0}^{\eta} \Psi(\eta) d \eta=\Phi(\eta) .
\]
Тогда мы можем написать
\[
u_{1}(\bar{z})=-\Psi(\bar{z}) .
\]
Повторяя рассуждения для второго из уравнений системы (7.14), получим
\[
B_{1}=\bar{x}
\]
и, следовательно,
\[
v_{1} \equiv 0 \text {. }
\]
Используя результаты (7.17), (7.18) и (7.19), перепишем третье уравнение системы (7.14)
\[
\frac{\partial u_{2}}{\partial \bar{z}}=\frac{d \Psi(\bar{z})}{d \bar{z}} \bar{x}-A_{2}(\bar{x}),
\]
откуда
\[
A_{2}(\bar{x})=\frac{\overline{d \Psi(\bar{z})}}{d \bar{z}} \bar{x}=f \cdot \bar{x}=0
\]
и, следовательно,
\[
u_{2}(\bar{x}, \bar{z})=\bar{x} \int_{0}^{\bar{z}} f(z) d z=\bar{x} \Psi(\bar{z}) .
\]
Перепишем, наконец, последнее из уравнений системы с учетом полученных результатов
\[
\frac{\partial v_{2}}{\partial \bar{z}}=-\Psi(\bar{z})-B_{2}(\bar{x}),
\]
откуда
\[
B_{2}(\bar{x})=-\bar{\Psi},
\]
и, следовательно, используя обозначения (7.16), получим
\[
v_{2}(\bar{x}, \bar{z})=-\Phi(\bar{z})+\bar{\Psi} \cdot \bar{z} .
\]
Продолжив эту процедуру, легко получить, что $A_{3}=0$, и т. д.
Ограничиваясь в наших вычислениях членами порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$, придадим уравнениям (7.11) и (7.12) вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =\bar{x}-\varepsilon \Psi(\bar{z})+\mathrm{e}^{2} \bar{x} \Psi(\bar{z})+\ldots, \\
z & =\bar{z}-\varepsilon^{2}(\bar{\Phi}(\bar{z})-\Psi \bar{z}), \\
\bar{x}^{\prime} & =0 \\
\bar{z}^{\prime} & =1+\varepsilon \bar{x}-\varepsilon^{2} \bar{\Psi} .
\end{array}\right\}
\]
Интегрируя третье из уравнений (7.24) и учитывая начальные условия (7.9), получим
\[
\bar{x} \equiv 0 .
\]
На основании равенства (7.25) остальные уравнения системы (7.24) будут иметь следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =-\varepsilon \Psi(\bar{z}), \\
z & =\bar{z}+\varepsilon^{2}(\bar{z} \bar{\Psi}-\Phi(\bar{z})), \\
\bar{z}^{\prime} & =1-\varepsilon^{2} \bar{\Psi}
\end{array}\right\}
\]
Перепишем формулы (7.26), возвращаясь к переменному $t=s / Q$, и положим $\varepsilon=1 / \Omega$
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{z}=\left(\Omega-\frac{1}{\Omega} \bar{\Psi}\right) t, \\
z=\left(\Omega-\frac{1}{\Omega} \bar{\Psi}\right) t+\frac{1}{\Omega^{2}}\left\{\bar{\Psi}\left(\Omega-\frac{1}{\Omega} \bar{\Psi}\right) t-\Phi\left(\left(\Omega-\frac{1}{\Omega} \bar{\Psi}\right) t\right)\right\}, \\
x=-\frac{1}{\Omega} \Psi\left(\left(\Omega-\frac{1}{\Omega} \Psi\right) t\right) .
\end{array}\right\}
\]
Продолжив эту процедуру, мы можем получить решение с любой степенью точности относительно $1 / \Omega$.
Так как $\bar{\Psi}$ является постоянной, не зависящей от $\Omega$, то удобно ввести новую постоянную
\[
\lambda=\Omega-\frac{1}{\Omega} \bar{\Psi} .
\]
Тогда асимптотическое представление общего интеграла уравнения (7.1) для случая больших энергий будет иметь вид:
\[
\left.z=\lambda\left(t+t_{0}\right)+\frac{1}{\lambda^{2}}\left\{\bar{\Psi} \cdot \lambda\left(t+t_{0}\right)-\Phi\left(\lambda\left(t+t_{0}\right)\right)\right\}+O\left(\frac{1}{\lambda^{3}}\right)^{*}\right) .
\]
Решение (7.28) содержит две произвольные постоянные $\lambda$ и $t_{n}$.
*) При выводе (7.28) мы использовали то обстоятельствро, что
\[
\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{\Omega^{2}}+O\left(\frac{1}{\lambda^{3}}\right) \text {. }
\]
Примечания. 1. Итак, асимптотическое представление общего интеграла уравнения (7.1) для случая больших энергий может быть приведено в форме квадратур. Таким образом, в этом случае мы имеем ту же самую ситуацию, которую мы имели для малых энергий. В самом деле, если рассматривать уравнение (7.1) как квазилинейное
\[
\ddot{z}+\omega^{2} z=\varepsilon \varphi(z) \equiv-\left(f(z)-\omega^{2} z\right),
\]
то мы должны принять
\[
z=x \cos y, \quad x=\text { const. }
\]
Тогда $y$ удовлетворяет уравнению
\[
\dot{y}=\omega+\frac{1}{2 \pi x \omega} \int_{0}^{2 \pi}\left[f(x \cos y)-\omega^{2} x \cos y\right] \cos y d y,
\]
т. e.
\[
\dot{y}=\Omega(x)=\frac{\omega}{2}+\frac{1}{2 \pi \omega x} \int_{0}^{2 \pi} f(x \cos y) \cos y d y
\]
и асимптотическое представление общего интеграла будет
\[
z=x \cos \Omega(x)\left(t+t_{0}\right),
\]
где $x$ и $t_{0}$ – две произвольные постоянные.
Следовательно, формула (7.28) является аналогом (7.28′), а формула (7.7) играет ту же роль при изучении вращательных движений маятника, какую играет преобразование Ван-дер-Поля в случае колебательных движений.
2. Для построения формул (7.28) мы использовали разложение функций в ряды и связанные с этой процедурой операции дифференцирования. В § 4 этой главы было показано, что формула типа (7.28) может быть получена методом последовательных приближений, реализация которого не требует предположения о дифференцируемости (и даже непрерывности) правой части уравнения (7.1). Схема метода последовательных приближений применительно к данному случаю сводится к следующему.
Вместо замены переменных (7.11), (7.12) мы полагаем
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =\bar{x}+\varepsilon u(\bar{x}, \bar{z}, \varepsilon), \\
z & =\bar{z}+\varepsilon v(\bar{x}, \bar{z}, \varepsilon),
\end{array}\right\}
\]
[гл. ніt
Подставляя $\left(7.11^{\prime}\right)$ и (7.12′) в исходные уравнения (7.8), мы получаем
\[
\begin{array}{l}
A+\varepsilon u_{\bar{x}} A+u_{\bar{z}}(1+\varepsilon B)=-f(\bar{z}+\varepsilon v), \\
B+\varepsilon v_{\bar{x}} B+v_{\bar{z}}(1+\varepsilon B)=\bar{x}+\varepsilon u .
\end{array}
\]
Решение этой системы проводится по следующей итерационной схеме:
\[
\begin{array}{l}
u_{\bar{z}}^{(k)}=-f\left(\bar{z}+\varepsilon v^{(k-1)}\right)-\varepsilon u_{\bar{x}}^{(k-1)} A^{(k-1)}-\varepsilon v_{\bar{x}}^{(k-1)} B^{(k-1)}-A^{(k)}, \\
v_{\bar{z}}^{(k)}=\bar{x}+\varepsilon u^{(k-1)}-\varepsilon v_{\bar{x}}^{(k-1)} A^{(k-1)}-\varepsilon v_{\bar{z}}^{(k-1)} B^{(k-1)}-B^{(k)} .
\end{array}
\]
Нетрудно убедиться в том, что, использовав заданные начальные условия, а также условия ограниченности функций $u$ и $v$ и проводя два шага итерационного процесса, мы придем к формуле (7.28).
