Задача становится значительно сложнее, если среди корней характеристического уравнения есть кратные. В этом случае приходится использовать рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены ранее для случая уравнения второго порядка.

Если мы имеем систему ранга $k$ и некоторая функция $\mu(t)$ является кратным корнем характеристического уравнения, но
таким, что ему соответствует простой элементарный делитель, то решение уравнения (5.1) всегда можно искать в форме
\[
y(t, \lambda)=e^{-\lambda \int \mu d t} z(t, \lambda) .
\]

Вектор $z(t, \lambda)$ будет удовлетворять системе того же порядка, но ранг системы будет на единицу ниже. Если характеристическое уравнение этой новой системы не будет иметь кратных корней, то, используя общую методику, мы можем довести задачу до конца. Если окажется, что характеристическое уравнение системы
\[
\dot{z}+B(\lambda, t) z=0,
\]

которой удовлетворяет вектор $z$, имеет кратные корни, то мы можем понизить ее ранг, снова применяя преобразование (5.13). Таким образом, если элементарные делители остаются простыми, то последовательное применение преобразования (5.13) исчерпывает проблему.

Если элементарные делители не простые, то дело может обстоять совершенно иначе. Пример, который был рассмотрен в конце $\$ 3$, показывает, что в этом случае не все слагаемые старшего ранга оказываются скомпенсированными. В этом случае мы сталкиваемся с альтернативой: либо коэффициенты уравнения таковы, что после преобразования (5.13) коэффициенты при членах старшего ранга обращаются в нуль, либо они в нуль не обращаются. В первом случае ранг системы оказывается пониженным на единицу и мы можем продолжать процесс дальше. Во втором случае мы также можем построить асимптотические представления, но при этом решения уже представляются в виде рядов, расположенных по дробным степеням параметра $\lambda$. Некоторые вопросы теории для эгих специальных случаев будут изложены в одном из следующих параграфов.