Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\lambda y+\mu X_{1}(x, y)+\mu^{2} X_{2}(x, y)+\ldots, \\
\dot{y}=\lambda x+\mu Y_{1}(x, y)+\mu^{2} Y_{2}(x, y)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где $\mu$ – малый параметр, $X_{i}$ и $Y_{i}$ – однородные полиномы относительно переменных $x$ и $y$.

Пусть $x=0$ и $y=0$ – единственная особая точка системы (6.1) для достаточно малых значений параметра $\mu$.
Введем полярные координаты
\[
x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta
\]

и составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют новые независимые переменные $r$ и $\theta$. Дифференцируя (6.2) и используя (6.1), получим
\[
\begin{array}{l}
\dot{r} \cos \theta-r \dot{\theta} \sin \theta=-\lambda r \sin \theta+\mu X_{1}(r \cos \theta, r \sin \theta)+ \\
+\mu^{2} X_{2}(r \cos \theta, r \sin \theta)+\ldots, \\
\dot{r} \sin \theta+r \dot{\theta} \cos \theta=\lambda r \cos \theta+\mu Y_{1}(r \cos \theta, r \sin \theta)+ \\
+\mu^{2} Y_{2}(r \cos \theta, r \sin \theta)+\ldots . \\
\end{array}
\]

Разрешая эти уравнения относительно $\dot{r}$ и $\dot{\theta}$, мы придем к системе уравнений следующего вида:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{r}=\mu R_{1}(r, \theta)+\mu^{2} R_{2}(r, \theta)+\ldots, \\
\theta=\lambda+\mu F_{1}(r, \theta)+\mu^{2} F_{2}(r, \theta)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
R_{k}=X_{k}(r \cos \theta, r \sin \theta) \cos \theta+Y_{k}(r \cos \theta, r \sin \theta) \sin \theta, \\
F_{k}=\frac{1}{r}\left[Y_{k}(r \cos \theta, r \sin \theta) \cos \theta-X_{k}(r \cos \theta, r \sin \theta) \sin \theta\right],
\end{array}
\]

функции $R_{k}$ и $F_{k}$ – полиномы от $r$ некоторой степени $m_{k}$
\[
\left.\begin{array}{l}
R_{k}=r R_{k}^{(1)}(\theta)+r^{2} R_{k}^{(2)}(\theta)+\ldots+r^{m_{k}} R_{k}^{\left(m_{k}\right)}(\theta), \\
F_{k}=F_{k}^{(0)}(\theta)+r F_{k}^{(1)}(\theta)+\ldots+r^{m_{k-1}} F_{k}^{\left(m_{k}-1\right)}(\theta) .
\end{array}\right\}
\]

Здесь функции $R_{k}^{(j)}$ и $F_{k}^{(j)}$ – некоторые полиномы относительно $\sin \theta$ и $\cos \theta$.
Определим функцию $V(r, \theta)$ при помощи равенства
\[
\begin{array}{l}
r=V+\mu\left(V U_{1}^{(1)}+V^{2} U_{1}^{(2)}+\ldots+V^{m_{1}} U_{1}^{\left(m_{1}\right)}\right)+ \\
+\mu^{2}\left(V U_{2}^{(1)}+V^{2} U_{2}^{(2)}+\ldots+V^{m_{2}} U_{2}^{\left(m_{2}\right)}\right)+\ldots,
\end{array}
\]

где $U_{i}^{(j)}$ – некоторые полиномы относительно $\sin \theta$ и $\cos \theta$, которыми мы будем распоряжаться в процессе решения задачи.

Заметим, что для достаточно малых $\mu$ функция $V$, определенная при помощи равенства (6.5), будет определенно положительной функцией $r$, каково бы ни было $\theta$.
Разрешив уравнение (6.5) относительно $V$, получим
\[
V=r+\mu V_{1}(r, \theta)-\mu^{2} V_{2}(r, \theta)+\ldots
\]

Так как $U_{i}-$ полиномы от $\sin \theta$ и $\cos \theta$, то и функции $V_{i}-$ также полиномы от тех же величин. В этом легко убедиться непосредственной проверкой, рассматривая (6.5) как уравнение относительно $V$ и разыскивая его решения в форме ряда (6.5′). Таким образом, функция $V(r, \theta)$ в общем случае будет периодической функцией $\theta$ периода $2 \pi$.

Вернемся теперь к выражению (6.5) и положим в нем $V=c$, где $c$ – заданная постоянная, тогда мы получим
\[
r=\Phi(c, \mu, \theta)=c+\mu\left(c U_{1}^{(1)}+\ldots+c^{m_{1}} U_{1}^{\left(m_{1}\right)}\right)+\mu^{2}(\quad)+\ldots,
\]

где $Ф$ – периодическая функция $\theta$ периода $2 \pi$. Уравнение (6.6) эпределяет в этом случае в фазовой плоскости некоторую замкнутую кривую – цикл. Таким образом, для данной конкретной системы функций $U_{i}^{(j)}$ каждому значению $c$ формула (6.6) ставит в соответствие в фазовой плоскости некоторую замкнутую траекторию. На основании замечания, которое мы сделали при выводе (6.5′), мы можем утверждать, что для достаточно малых $\mu$, двум различным значениям постоянной $c$ отвечают два непересекающихся цикла, причем цикл, который отвечает меньшему значению постоянной, лежит внутри другого цикла.

Идея, лежащая в основе метода Г. В. Каменкова, состоит в следующем. Предположим, что нам удалось подобрать периодические функции $U_{i}^{(j)}(\theta)$ таким образом, что производная $d V / d t$, вычисленная в силу уравнений (6.3), будет равна 0 , т. е. $V$ будет интегралом движения. Тогда кривая, заданная уравнением (6.5), будет искомым периодическим решением.

Продифференцируем (6.5) в силу уравнений
\[
\begin{array}{c}
\mu\left[r R_{1}^{(1)}(\theta)+\ldots+r^{m_{1}} R_{1}^{\left(m_{1}\right)}(\theta)\right]+\mu^{2}\left[r R_{2}^{(1)}(\theta)+\ldots+r^{m_{2}} R_{2}^{\left(m_{2}\right)}(\theta)\right]+ \\
+\ldots=\frac{d V}{d t} H+\mu\left[V \lambda \frac{d U_{1}^{(1)}}{d \theta}+V^{2} \lambda \frac{d U_{1}^{(2)}}{d \theta}+\ldots+V^{m_{1}} \lambda \frac{d U^{\left(m_{1}\right)}}{d \theta}\right]+ \\
+\mu^{2}\left[V \frac{d U_{1}^{(1)}}{d \theta} F_{1}+\ldots+V^{m_{1}} \frac{d U^{\left(m_{1}\right)}}{d \theta} F_{1}+V \lambda \frac{d U_{2}^{(1)}}{d \theta}+\ldots\right. \\
\left.\ldots+V^{m_{2}} \lambda \frac{d U_{2}^{\left(m_{2}\right)}}{d \theta}\right]+\mu^{3}[\ldots]+\ldots,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
H=1+\mu\left(U_{1}^{(1)}+2 V U_{1}^{(2)}, \ldots, m_{1} V^{m_{1}-1} U_{1}^{\left(m_{1}\right)}\right)+ \\
\quad+\mu^{2}\left(U_{2}^{(1)}+\ldots+m_{2} V^{m_{2}-1} U_{2}^{\left(m_{2}\right)}\right)+\mu^{3}(\ldots)+\ldots
\end{array}
\]

Заметим, что для достаточно малых $\mu$ величина $H$ строго больше нуля. Заменим в равенстве (6.7) величину $r$ при помощи (6.5); тогда (6.7) можно привести к следующему виду:
\[
\begin{array}{c}
H \frac{d V}{d t}=\mu\left\{V\left[R_{1}^{(1)}(\theta)-\lambda \frac{d U_{1}^{(1)}}{d \theta}\right]+V^{2}\left[R_{1}^{(2)}(\theta)-\lambda \frac{d U_{1}^{(2)}}{d \theta}\right]+\ldots\right. \\
\left.\ldots+V^{m}\left[R_{1}^{\left(m_{1}\right)}(\theta)-\lambda \frac{d U_{1}^{\left(m_{1}\right)}}{d \theta}\right]\right\}+\mu^{2}\left\{V\left[R_{2}^{(1)}(\theta)-\lambda \frac{d U_{2}^{(1)}}{d \theta}\right]+\ldots\right. \\
\left.\ldots+V^{m_{2}}\left[R_{2}^{\left(m_{2}\right)}(\theta)-\lambda \frac{d U_{2}^{\left(m_{2}\right)}}{d \theta}\right]\right\}+\ldots
\end{array}
\]

Используем теперь произвол функций $U_{i}^{(f)}$ и распорядимся ими так, чтобы выражения, стоящие в квадратных скобках, были некоторыми постоянными числамн. Это значит, что функции $U_{1}^{(j)}$ должны удовлетворять уравнениям
\[
\lambda \frac{d U_{1}^{(j)}}{d \theta}=R_{1}^{(j)}(\theta)-g_{1}^{(j)},
\]

где $g_{1}^{(j)}$ – некоторые постоянные, которые должны быть нами определены так, чтобы функции $U_{1}^{(j)}$ были периодическимиДля функций $V_{k}^{\prime \prime}(k>1)$ мы имеем уравнения, аналогичные (6.10), где вместо периодической функции $R_{1}^{(j)}$ стоит некоторая сумма функции $R_{k}^{(j)}(\theta)$ и некотсрой другой периодической функции, которая может быть вычис.тена.

Функции $U_{1}^{(j)}$ должны удовлетворять уравнениям (6.10). Но с другой стороны, они должны быть периодическими, а для этого необходимо и достаточно, чтобы среднее значение правой части за период $2 \pi$ было равно нулю. Это условие единственным образом определяет постоянную $g_{1}^{(j)}$ в виде
\[
g_{l}^{(j)}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} R_{l}^{(j)}(\theta) d \theta .
\]

Из аналогичных соображений вычисляются и другие постоянные $g_{k}^{(j)}(k=2,3, \ldots)$. Функции $U_{1}^{(j)}$ определяются теперь квадратурой
\[
U_{1}^{(j)}=\frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\theta}\left[R_{1}^{(j)}(\theta)-g_{1}^{(j)}\right] d \theta+c_{1}^{(j)},
\]

где постоянные $c_{1}^{(j)}$ произвольны. Не ограничивая общности, мы можем положить их равными нулю. Это будет означать, что все $U_{1}^{(j)}(0)=0$. Итак, для производной функции $d V / d t$ мы получаем следующее выражение:
\[
H \frac{d V}{d t}=\mu L_{1}(V)+\mu^{2} L_{2}(V)+\ldots,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
L_{1}(V)=V g_{1}^{(\mathrm{I})}+V^{2} g_{3}^{(2)}+\ldots+V^{m_{1}} g_{1}^{\left(m_{1}\right)}, \\
L_{2}(V)=V g_{2}^{(1)}+\ldots+V^{m_{2}} g_{2}^{\left(m_{2}\right)}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Рассмотрим уравнение
\[
L_{1}(V)=0 .
\]
Г. В. Каменковым доказана следующая теорема *).

Если система уравнений (6.1) такова, что уравнение (6.14) имеет $k$ положительных корней нечетной кратности, то каждому из этих корней будет соответствовать по крайней мере одно периодическое решение системы (6.1).

Итак, существование периодических решений в случае корней нечетной кратности уравнения (6.14) определяется исключительно свойствами полинома $L_{1}(V)$ и не зависит от структуры полиномов $L_{i}(i>1)$. Если же корни уравнения (6.14) имеют четную кратность, то, как показал $\Gamma$. В. Қаменков, для решения вопроса о существовании циклов необходима более полная информация о природе правой части уравнения (6.13).
*) См. Г. В. Каменков, Исследование нелинейных колебаний с помощью функций Ляпунова, Труды Университета дружбы народов им. Патрис Лумумбы, т. XV, 1966, стр. 3-35.