Рассмотрим сначала решения $x^{(0)}$ и $y^{(0)}$. Так как эти решения при $\mu \rightarrow 0$ переходят в тривиальные, то будем их искать в форме рядов
\[
\left.\begin{array}{l}
x^{(0)}=\mu x_{1}^{(0)}+\mu^{2} x_{2}^{(0)}+\ldots, \\
y^{(0)}=\mu y_{1}^{(0)}+\mu^{2} y_{2}^{(0)}+\ldots
\end{array}\right\}
\]
Так как разложения функций $X$ и $Y$ начинаются с членов второго порядка малости, то функции $x_{i}^{(0)}$ и $y_{i}^{(0)}$ будут удовлетворять следующим системам:
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{x}_{1}^{(0)}=-\lambda y_{1}^{(0)}+F_{1}(0,0, t), \\
\dot{y}_{1}^{(0)}=\lambda x_{2}^{(0)}+F_{2}(0,0, t),
\end{array}\right\}
\]
и т. д.
Здесь $F_{i j}$ – периодические функции периода $2 \pi$. Возможны два случая. Первый случай – это тот, когда $\lambda$ не равно целому числу. В этом случае однородная система
\[
\dot{x}_{1}^{(0)}=-\lambda y^{(0)}, \quad \dot{y}_{1}^{(0)}=\lambda x^{(0)}
\]
не имеет решений периода $2 \pi(\lambda
eq p)$ и, следовательно, периодическое решение системы (8.6) мы можем построить обычными методами. Все последующие члены разложений (8.5) удовлетворяют системам дифференциальных уравнений, совершенно идентичным системе (8.6). Таким образом, в том случае, когда $\lambda$ не равно целому числу, вычисление решения $x^{(0)}$ и $y^{(0)}$ не представляет труда.
Если $\lambda=p(p=1,2, \ldots)$, т. е. равно целому числу, то существования периодических решений необходимо и достаточно, чтобы функции $F_{1}$ и $F_{2}$ удовлетворяли следующим условиям:
\[
\left.\begin{array}{rl}
I_{1}\left(F_{1}, F_{2}\right)=\int_{0}^{2 \pi} F_{1}(0,0, t) \cos p t d t & \\
& +\int_{0}^{2 \pi} F_{2}(0,0, t) \sin p t d t=0, \\
I_{2}\left(F_{1}, F_{2}\right)=\int_{0}^{2 \pi} F_{1}(0,0, t) \sin p t d t- \\
& -\int_{0}^{2 \pi} F_{2}(0,0, t) \cos p t d t=0
\end{array}\right\}
\]
Если условия (8.8) выполнены, т.е. функции $F_{1}$ и $F_{2}$ ортогональны $\sin p t$ и $\cos p t$, то решения системы (8.8) находятся одним из стандартных способов, например методом Фурье.
Тот случай, когда функции $F_{1}$ и $F_{2}$ удовлетворяют условиям (8.8), является исключительным. Следовательно, в общем случае при $\lambda=p$ система (8.6) не будет иметь периодических решений вида (8.5). Таким образом, если решения $x^{(0)}$ и $y^{(0)}$ системы (8.1) существуют, то их следует разыскивать в форме, отличной от (8.5).
Первый случай, когда $\lambda
eq p$ (или когда выполнены оба условия (8.8)), условимся называть нерезонансным. В этом случае учет членов порядка $\mu^{2}$ в уравнении (8.1) приводит только к количественным уточнениям. Решение системы (8.1) оказывается «качественно близким» соответствующему решению уравнений Ляпунова, которое формально также можно разыскивать в виде рядов (8.5).
Новые качественные особенности возникают во втором случае, когда $\lambda=p$ и хотя бы один из функционалов $I_{1}$ или $I_{2}$ не равняется нулю. Этот случай мы условимся называть резонансным.
