Представляет известный интерес рассмотреть уравнение более общего вида
\[
\ddot{y}+\lambda^{2 p} F(t, \lambda) y=0,
\]
где функция $F(t, \lambda)$ имеет тот же вид, что и раньше. Уравнение (2.14) условимся называть уравнением ранга $p$ ( $p$ всегда будем считать целым положительным числом). Соответственно принятой терминологии уравнения $(1,1)$ и $(2,8)$ будут уравнениями первого ранга. Разложение (2.9) следует в этом случае заменить таким:
\[
\begin{aligned}
y=\exp \int\left(\lambda^{p} \mu_{0}(t)+\lambda^{p-1} \mu_{1}(t)+\right. & \left.\ldots+\lambda \mu_{p-1}(t)\right) d t \times \\
& \times\left(z_{0}(t)+\lambda^{-1} z_{1}(t)+\ldots\right) .
\end{aligned}
\]
Здесь $\mu_{0}$ – по-прежнему корень характеристического уравнения.
Подставляя разложения (2.15) в (2.14), мы получим уравнения для определения неизвестных функций $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{p-1}$, $z_{0}, z_{1}$ и т. д. Первые ( $p-1$ ) уравнений этой системы определяют функции $\mu_{i}$. Выпишем для примера первое из этих уравнений
\[
\left(\mu_{0}^{2}+f_{0}\right) z_{1}=-\left(2 \mu_{0} \mu_{1}+f_{1}\right) z_{0} .
\]
Для того чтобы это уравнение имело смысл при $z_{0}
eq 0$, необходимо, чтобы
\[
\mu_{1}(t)=-\frac{f_{1}(t)}{2 \mu_{0}(t)} .
\]
Функция $\mu_{2}(t)$ определяется из следующего уравнения и т. д. Заметим, что функция $z_{0}(t)$ не определяется уравнёнием (2.16). B остальных уравнениях, которые определяют функции $\mu_{2}, \mu_{3}, \ldots, \mu_{p-1}$, последние также не могут быть определены. Функция $z_{0}$ определяется из уравнения, которое мы получим, приравнивая коэффициенты при первой степени параметра $\lambda$. Уравнение для $z_{0}(t)$, как это нетрудно проверить, будет дифференциальным уравнением первого порядка типа уравнения (2.11). Остальные функции $z_{i}(t)$ будут находиться из аналогичных уравнений первого порядка.
Уравнения, которые мы до сих пор рассматривали, не содержали первой производной. Однако уравнения более общего вида
\[
\ddot{y}+2 \lambda^{p} \Phi(t, \lambda) \dot{y}+\lambda^{2 p} F(t, \lambda) y=0
\]
легко сводятся к рассмотренному стандартной заменой переменного
\[
y=\exp \left\{-\lambda^{p} \int_{0}^{t} \Phi d t\right\} x,
\]
Уравнение для $x(t)$ будет
\[
\ddot{x}+\lambda^{2 p}\left\{F(t, \lambda)-\Phi^{2}(t, \lambda)-\frac{d}{d t} \Phi(t, \lambda)\right\} x=0 .
\]
Рассмотрим для примера уравнен
\[
\ddot{y}+\lambda \varphi(t) \dot{y}+\lambda^{2} f(t) y=0 .
\]
После преобразования (2.18) оно примет форму
\[
\ddot{x}+\lambda^{2}\left(f(t)-\varphi^{2}(t)-\frac{d \varphi}{d t}\right) x=0 .
\]
Для этого уравнения WBKJ-решение имеет вид
\[
x=\frac{C}{\sqrt[4]{f-\varphi^{2}-\dot{\varphi}}} \exp \left\{ \pm i \lambda \int_{0}^{t} \sqrt{f-\varphi^{2}-\dot{\varphi}} d t\right\} .
\]
Следовательно, приближенные решения уравнения (2.20) будут
\[
y=\frac{C}{\sqrt[4]{f^{2}-\varphi^{2}-\dot{\varphi}}} \exp \left\{\int_{0}^{t}\left[\varphi \pm i \sqrt{f-\varphi^{2}-\dot{\varphi}}\right] d t\right\} .
\]
Величину
\[
a=\frac{C e^{-\int_{0}^{t} \varphi d t}}{\sqrt{f^{2}-\varphi^{2}-\dot{\varphi}}}
\]
в случае колебательных движений $\left(f-\varphi^{2}-\dot{\varphi}>0\right)$ естественно называть амплитудой. Таким образом, формула (2.22) определяет закон «затухания» амплитуды.
Примечание. Для построения асимптотического решения уравнения (2.17) замена (2.18) не является необходимой. Его можно разыскивать непосредственно в виде (2.15).
