В предыдущем параграфе была изложена процедура асимптотического интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих одну быстро изменяющуюся переменную – одну вращающуюся фазу. Там мы указали на то, что естественным обобщением развитой в нем теории будет теория, изучающая системы, содержащие несколько быстрых переменных, т. е. системы типа (4.1), в которых вектором является не только переменная $x$, но и переменная $y$. Подобное обобщение, как мы увидим ниже, отнюдь не является тривиальным. Системы вида (4.1), в которых переменная $у$ является вектором (размерности большей чем единицы), обладают целым рядом новых особенностей. Теория таких систем оказывается весьма сложной. В настоящее время она еще очень далека от завершения.
В данном параграфе мы укажем лишь некоторые способы, которые в отдельных случаях (правда, достаточно важных с прикладной точки зрения) дают возможность построить асимптотическое решение. Для определенности будем рассматривать систему с двумя вращающимися фазами. Этим термином условимся называть систему вида
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=\varepsilon X(x, y, z, \varepsilon), \\
\dot{y}=\omega(x)+\varepsilon Y(x, y, z, \varepsilon), \\
\dot{z}=\lambda(x)+\varepsilon Z(x, y, z, \varepsilon),
\end{array}\right\}
\]
где $x$ – по-прежнему векторная переменная произвольной размерности, а $y(t)$ и $z(t)$ – скалярные функции.
Будем считать $X, Y$ и $Z$ периодическими функциями переменных $y$ и $z$ периодов $T_{y}=2 \pi / l$ и $T_{z}=2 \pi / m$ соответственно. Задачи типа (5.1) часто встречаются в технике и физике. Например, к их числу относится задача о поведении нелинейного осциллятора, параметры которого зависят от времени и который находится под действием периодической внешней силы. Движение такого маятника описывается уравнением
\[
\ddot{z}+\omega^{2} z=\varepsilon \varphi(z, \dot{z}, t),
\]
где $\varphi$ – периодическая функция времени $t$ периода $T=2 \pi / m$. Используя переменные Ван-дер-Поля, т. е. полагая
\[
z=x \cos y, \quad \dot{z}=-\omega x \sin y,
\]
мы можем свести уравнение осциллятора к системе следующего вида:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x} & =\boldsymbol{\varepsilon} X(x, y, s), \\
\dot{y} & =\omega+\varepsilon Y(x, y, s), \\
\dot{s} & =1
\end{array}\right\}
\]
Функции $X$ и $Y$ будут иметь период $T_{y}=2 \pi$ по переменной $y$ и период $T_{s}=2 \pi / m$ по переменной $s$. В системе (5.1′) две быстрые переменные $y$ и $s$.
В одном из предыдущих параграфов мы так же рассматривали систему, параметры которой изменяются со временем. Но там мы предполагали, что параметры системы изменяются медленно. Это позволило свести задачу к изучению системы вида
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x} & =\varepsilon X(x, y, s), \\
\dot{y} & =\omega(x)+\varepsilon Y(x, y, s), \\
\dot{s} & =\varepsilon .
\end{array}\right\}
\]
Система (5.1\”) содержит только одну быструю переменную и, в отличие от системы (5.1′), может быть изучена методами, изложенными в предыдущем параграфе.
