Рассмотрим вспомогательную систему уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=a_{11} \xi+a_{12} \eta \\
\dot{\eta}=a_{21} \xi+a_{22} \eta
\end{array}\right\}
\]

Система (1.5) описывает колебание с постоянной амплитудой, поскольку ее характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней.
Исключая из уравнения (1.5) переменную $\eta$, получим
\[
\xi-\xi\left(a_{11}+a_{22}\right)+\xi\left(a_{22} a_{11}-a_{21} a_{12}\right)=0 .
\]

Для того чтобы удовлетворить условию а), коэффициент при $\xi$ должен быть равен нулю, т. е. должно быть $a_{11}=-a_{22}$ и; кроме того, должно иметь место неравенство

Сделаем замену
\[
\lambda^{2}=a_{22} a_{11}-a_{21} a_{12}>0 .
\]
\[
\xi=x, \quad \dot{x}=-\lambda y,
\]

где $\lambda$-арифметическое значение корня $\sqrt{a_{22} a_{11}-a_{21} a_{12}}$. При помощи замены (1.7) уравнение (1.6) сводится к эквивалентной системе двух уравнений
\[
\dot{x}=-\lambda y, \quad \dot{y}=\lambda x .
\]

Поэтому, если в исходной системе (1.1) сделать замену (1.7), то эта система будет приведена к виду
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\lambda y+X(x, y), \\
\dot{y}=\lambda x+Y(x, y)
\end{array}\right\}
\]

где $X$ и $Y$-аналитические функции своих переменных, разложения которых начинаются с членов второго порядка малости. Таким образом, вместо системы (1.1) нам достаточно рассмотреть систему (1.8).