В этой главе излагаются асимптотические методы интегрирования линейных уравнений с переменными коэффициентами, содержащими большой параметр. Эта теория возникла в связи с обоснованием метода Фурье, которое потребовало изучения асимптотического поведения собственных функций и собственных чисел линейных дифференциальных операторов. Частным случаем этой задачи является задача о поведении решения уравнения
\[
\ddot{y}+\lambda^{2} \omega^{2}(t) y=0, \quad \omega>0
\]
при $\lambda \rightarrow \infty$. Первые систематические рассмотрения этих задач были проведены Лиувиллем в тридцатые годы прошлого века. $\mathrm{B} \mathrm{XX}$ веке вопросы поведения решений уравнений типа (*) при $\lambda \rightarrow \infty$ были предметом исследования ряда выдающихся математиков. Основные результаты этой теории связывают обычно с именами Брикхоффа и Я. Д. Тамаркина *).
Одновременно с этими исследованиями чисто математиче ского характера и независимо от них изучались различные спо собы приближенного интегрирования уравнений вида (*). Пер вой из работ этого цикла был мемуар капитана французской артиллерии де Спарра, который построил приближенный способ интегрирования уравнений баллистики вращающегося артиллерийского снаряда. Де Спарр обратил внимание на то, что при известных интуитивно оправданных гипотезах движение артиллерийского снаряда относительно своего центра тяжести может быть описано уравнением типа (*). Это позволило де Спарру развить теорию, опирающуюся на способ приближенного интегрирования уравнения (*) при больших $\lambda$. В дальнейшем подход де Спарра к построению баллистики вращающегося снаряда стал традиционным.
Значительное развитие подобная концепция получила затем в работах покойного профессора Академии им. Жуковского
*) Я. Д. Тамаркин, О некоторых общих вопросах теории дифференциальных уравнений и о разложении функций в ряды, Петроград, 1917.
Д. А. Вентцеля. В. С. Пугачев, опираясь на результаты Бригхоффа – Тамаркина, придал теории движения артиллерийского снаряда вполне современный вид и превратил интуитивно очевидную схему в строгую математическую теорию. С именем B. С. Пугачева связано также появление теории, позволяющей строить асимптотические представления весьма общего вида *).
В послевоенное время появился ряд работ, в которых изучались «сквозные асимптотики» уравнений типа (\%) в случае, когда функции $\omega(t)$ могли в отдельных точках обращаться в нуль (см., например, работу А. А. Дородницына **). Выяснилась также возможность использования асимптотических представлений для построения рациональных численных схем.
Независимо от этих исследований, начиная с работ Стокса в физике, подробно изучался случай одного уравнения второго порядка вида (*). Разработанный приближенный способ получил название метода WBKJ (Wentzel, Brillouin, Kramers, Jeffreys).
B работах, посвященных методу WBKJ, главное внимание уделялось изучению поведения решений уравнения (*) в различных областях плоскости комплексного переменного $\lambda$, ограниченных линиями Стокса
\[
\operatorname{Im} \int_{0}^{t} \sqrt{\omega^{2}(t)} d t=0 .
\]
Значительный вклад в развитие асимптотических методов рассматриваемого типа сделан в послевоенные годы украинскими математиками И. М. Раппопортом, С. Ф. Фещенко и их учениками.
Количество работ, посвященных методам большого параметра, огромно, и замечания, которые мы сделали, отнюдь не претендуют на роль научного обзора. Большая библиография помещена в монографиях И. М. Раппопорта ***) и С. Ф. Фещенко ****). Перечнем фамилий авторов мы просто отметили тот круг вопросов, который имеет отношение к теории, излагаемой
*) В. С. Пугачев, Общая задача о движении вращающегося артиллерийского снаряда в воздухе, Труды Военно-воздушной академии им Жуковского, № 70 , (1940).
**) А. А. Дородни и н, Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка, VMH, т. VII, вып. 6, (1952).
***) И. М. Раппопорт, О некоторых асимлтотических методах в теории дифференциальных уравнений, Изд. АН УССР, Киев, 1954.
****) С. Ф. Фещенко, Н. И. Шкилев й. Д. Николенко, Асимптотические методы в теории лиғейных дифференциальных уравнений, Қиев, «Наукова думка», 1966.
в этой главе. Выбор вопросов этой теории, которые рассматриваются в данной монографии, определен прежде всего интересами задач динамики. Поэтому все рассмотрения мы будем вести только в действительной области изменения переменного $\lambda$.
