Рассмотрим теперь уравнение следующего вида:
\[
\ddot{z}+f(z, \tau)=\varepsilon \varphi(z, \dot{z}, \tau),
\]

где $\tau$ – «медленное время»: $\tau=\varepsilon t+$ const. Таким образом, в отличие от уравнения (2.1) уравнение (3.1) описывает колебательные процессы в системе с медленно меняющимися параметрами. При $\varepsilon=0$ уравнение (3.1) превращается в порождающее
\[
\ddot{z}+f(z, \tau)=0,
\]

где $\tau$ – некоторая постоянная.
Методы, развитые в предыдущем параграфе, без каких-либо существенных изменений могут быть использованы для исследования уравнения (3.1).

Общий интеграл порождающего уравнения, как и в предыдущем параграфе, будем считать известным, однако теперь он будет зависеть не только от $x$ и $y$, но и от параметра $\tau$ :
\[
z=Q(x, y, \tau),
\]
*) Ю. А.Митропольский, Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний, «Наука», М., 1954 ,

где, как и раньше, $y=\omega(x, \tau)\left(t+t_{0}\right)$. Заметим при этом, что теперь частота $\omega$ будет функцией не только амплитуды $x$, но и медленного времени $\tau: \omega=\omega(x, \tau)$.
Функция $Q$ будет удовлетворять уравнению
\[
\omega^{2} Q_{y y}+\hat{i}(Q)=0
\]

тождественно по $x$ и т.
Так же, как и в предыдущем параграфе, решение уравнения (3.1) будем искать в виде (2.5)
\[
\begin{array}{l}
z=Q(x, y, \tau), \\
\dot{z}=\omega(x, \tau) Q_{y}(x, y, \tau) .
\end{array}
\]

Другими словами, вместо переменной $\boldsymbol{z}$ мы введем новые переменные $x$ и $y$ при помощи равенств (2.5′) и (2.6′). Уравнения (2.7) и (2.8) в нашем случае будут иметь следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
Q_{x} \dot{x}+Q_{y} \dot{y}-\omega Q_{y}+\varepsilon Q_{\tau}=0, \\
\left(\omega_{x} Q_{y}+\omega Q_{x y}\right) \dot{x}+\omega \dot{y} Q_{y y}+f(Q, \tau)+\varepsilon\left(\omega_{\tau} Q_{y}+\omega Q_{y \tau}\right)=\varepsilon \varphi .
\end{array}
\]

Разрешая эти уравнения относительно $\dot{x}$ и $\dot{y}$ и используя определения $\Delta$ и тождество (3.3), мы получим
\[
\begin{array}{c}
\dot{x} \Delta+\varepsilon\left\{\omega_{x}\left(Q_{\tau} Q_{y y}+Q_{x} Q_{y \tau}\right)-\omega_{\tau} Q_{y}^{2}\right\}=-\varepsilon \varphi Q_{y}, \\
-\dot{y} \Delta+\omega \Delta+\varepsilon\left\{\omega\left(Q_{\tau} Q_{x y}-Q_{x} Q_{y \tau}\right)+\omega_{x} Q_{y} Q_{\tau}-\omega_{\tau} Q_{x} Q_{y}\right\}=-\varepsilon \varphi Q_{x}
\end{array}
\]

или окончательно
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{\Delta}\left\{\varphi Q_{y}+\xi_{1}(x, y, \tau)\right\}, \\
\dot{y}=\omega(x, \tau)+\frac{\varepsilon}{\Delta}\left\{\varphi Q_{x}+\xi_{2}(x, y, \tau)\right\},
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\xi_{1}=\omega\left(Q_{\tau} Q_{y y}-Q_{y \tau} Q_{y}\right)-\omega_{\tau} Q_{y}^{2}, \\
\xi_{2}=\omega\left(Q_{\tau} Q_{x y}-Q_{x} Q_{y \tau}\right)+\omega_{x} Q_{y} Q_{\tau}-\omega_{\tau} Q_{x} Q_{y} .
\end{array}
\]

Система (3.4) отличается от системы (2.10) лишь тем, что ее правые части зависят не только от переменных $x$ и $y$, т. е. не только от амплитуды и фазы, но и от времени. Существенно, однако, что правые части являются по условию медленно изменяющимися со временем. Поэтому основные соображения о возможности усреднения правых частей по периоду изменения быстрой переменной остаются в силе, так как за время, в течение которого фаза изменяется на $2 \pi$, величина $\tau$ изменяется мало.

Итак, и в этом случае мы также сможем составить систему укороченных уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\boldsymbol{e}}{2 \pi \Delta} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\varphi Q_{y}+\xi_{1}\right\} d y, \\
\dot{y}=\omega(x, \tau)+\frac{\boldsymbol{e}}{2 \pi \Delta} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\varphi Q_{x}+\xi_{2}\right\} d y
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, процедура Ван-дер-Поля формально применима к системам с медленно меняющимися правыми частями при условии, что функция $Q(x, y, \tau)$ описывает некоторый колебательный процесс (т. е. правые части системы (3.4) являются периодическими функциями «быстрой» переменной $y$ ). В этом случае мы можем заменить исходное уравнение (3.1) укороченными системой (3.5).