Маятником мы условимся называть систему, движение которой описывается уравнением
\[
\ddot{z}+f(z)=0,
\]
где $f(z)$ – периодическая функция своего аргумента. Не ограничивая общности, мы можем принять, что период этой функции равен $2 \pi$ и $f(0)=0$; кроме того, мы будем считать, что среднее значение $\bar{f}$ будет
\[
f=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(z) d z=0 .
\]
Все движения, описываемые уравнением (7.1), условимся называть собственными движениями маятника.
Кроме собственных дви-
Рис. 28. жений маятника, мы будем еще рассматривать вынужденные движения, происходящие под действием внешних возмущений. Такие движения мы будем описывать уравнением
\[
\ddot{z}+f(z)=\varepsilon \varphi(z, \dot{z}, t),
\]
где $\varepsilon$ – малый параметр.
Фазовая плоскость уравнения (7.1) имеет вид, изображенный на рис. 28. Замкнутые ветви сепаратрисы ограничивают области значений $z$ и $\dot{z}$, соответствующие периодическим (колебательным) движениям. Незамкнутые фазовые траектории описывают вращательные движения.
Во всех примерах этой главы мы рассматривали колебательные движения. Методы, развитые в этой главе, позволяют рассмотреть следующие задачи:
a) Квазилинейные колебания. В этом случае колебания считаются малыми, и уравнение (7.3) заменяется таким:
\[
\ddot{z}+\omega^{2} z=\varepsilon \varphi(z, \dot{z}, t) .
\]
Выбор постоянной ( в том случае, когда $f(z)$ – аналитическая функция, очевиден – это коэффициент при первом числе тейлоровского разложения функции $\hat{i}(z)$. Если $f(z)$ не аналитическая функция, то величина $\omega$ определяется методом эквивалентной линеаризации. В этом случае величина $\omega$ зависит от амплитуды $x$. Разность
\[
f(z)-\omega^{2} z=\varepsilon \psi^{*}(z)
\]
относится к возмущающим силам.
б) Колебания с малой энергией. Квазилинейные колебания являются частным случаем таких систем. Однако на эту задачу можно посмотреть и с более общей точки зрения. Предположим, что мы снова представили функцию $f(z)$ в виде
\[
f(z)=\omega^{2} z-\mu \Psi^{*}(z),
\]
где $\mu$ – некоторый малый параметр, не зависящий от $\varepsilon$. Тогда и уравнение возмущенного движения (7.3) будет
\[
\ddot{z}+\omega^{2} z-\mu \psi^{*}(z)=\varepsilon \varphi(z, \dot{z}, t) .
\]
Уравнение (7.4) содержит два малых параметра. При $\varepsilon=0$ мы получаем порождающее уравнение
\[
\ddot{z}+\omega^{2} z=\mu \psi^{*}(z) .
\]
Если энергия системы мала, то можно построить приближенное решение (7.5) с любой точностью относительно $\mu$
\[
z=Q(x, \omega(x)(t+c)) .
\]
Используя решение (7.6), мы можем теперь построить решение, асимптотическое по $\varepsilon$.
Такой подход к исследованию уравнений (7.3) является более гибким, чем тот, который дает квазилинейная теория. Использование двух малых параметров позволяет обнаружить в неавтономных системах такие решения, которые нельзя определить методом квазилинейной теории. Тем не менее его возможности ограничены только малыми амплитудами.
в) В том случае, если амплитуды колебательного процесса велики, фазовая траектория уже близка к сепаратрисе, и мы должны использовать для построения асимптотики общие методы, которые были изложены в § 2 этой главы. Заметим, однако, что если при увеличении энергии период колебаний будет неограниченно увеличиваться (период движения вдоль сепаратрисы бесконечно большой), то точность асимптотических представлений будет уменьшаться.
Таким образом, методы данной главы позволяют с большой точностью изучить всю область колебательных движений, за исключением узкой полосы, примыкающей к сепаратрисе.
В настоящем параграфе мы рассмотрим вращательные движения маятника. Оказывается, что методы осреднения позволяют для больших энергий построить теорию, по меньшей мере не более сложную, чем изложенная теория нелинейных колебаний. Изучение вращательных движений мы начнем с рассмотрения собственных движений ( $\varphi \equiv 0$ ).
