Исследование автоколебаний в системах большого числа степеней свободы сталкивается с целым рядом трудностей. Прежде всего, эта теория очень громоздка. Кроме того, достаточно общее изложение такой теории требует предварительного изучения ряда вопросов теории линейных уравнений. Поэтому здесь мы ограничимся рассмотрением одной частной задачи этой теории – задачи об автоколебаниях квазилинейной системы в том случае, когда порождающая система консервативна.

Использование канонических переменных позволяет ограничиться рассмотрением следующей системы уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}_{i}+\lambda_{i}^{2} x_{i}=\varepsilon F_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, \dot{x}_{1}, \ldots, \dot{x}_{n}\right) \\
(i=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

При $\varepsilon=0$ в этой системе существуют периодические решения главные колебания с частотами $\lambda_{i}$, поэтому в рамках теории малого параметра имеет смысл следующая задача: определить возможные периодические решения системы (5.37), которые при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходят в одно из главных колебаний системы
\[
\ddot{x}_{i}+\lambda_{i}^{2} x_{i}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Для определенности условимся разыскивать периодическое решение системы (5.37), переходящее в первое главное колебание системы (5.38). Условимся при этом, что все $\lambda_{i}$ взаимно простые.
Сделаем замену независимого переменного (5.8):
\[
t=\frac{\tau}{\lambda_{1}}\left(1+g_{1} \varepsilon+g_{2} \varepsilon^{2}+\ldots\right) .
\]

После этой замены система уравнений (5.37) примет вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{1}}{d \tau^{2}}+x_{1}\left(1+2 g_{1} \varepsilon+\ldots\right)= \\
=\varepsilon F_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, \frac{d x_{1}}{d \tau} \cdot \frac{\lambda_{1}}{1+g_{1} \varepsilon+\ldots}, \ldots\right. \\
\left.\ldots, \frac{d x_{n}}{d \tau} \frac{\lambda_{1}}{1+g_{1} \varepsilon+\ldots}\right) \frac{1+2 g_{1} \varepsilon+\ldots}{\lambda_{1}^{2}}, \\
\frac{d^{2} x_{s}}{d \tau^{2}}+\frac{\lambda_{s}^{2}}{\lambda_{1}^{2}} x_{s}=\varepsilon F_{s} \cdot \frac{1+2 g_{1} \varepsilon+\ldots}{\lambda_{1}^{2}} \quad(s=2,3,4, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]

Решение системы (5.39) будем искать в виде рядов
\[
x_{i}=x_{i}^{(0)}+\varepsilon x_{i}^{(1)}+\varepsilon^{2} x_{i}^{(2)}+\ldots
\]

Функции $x_{i}^{(k)}$ удовлетворяют следующим системам уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{1}^{(0)}}{d \tau^{2}}+x_{1}^{(0)}=0, \\
\frac{d^{2} x_{s}^{(0)}}{d \tau^{2}}+\frac{\lambda_{s}^{2}}{\lambda_{1}^{2}} x_{s}^{(0)}=0
\end{array}\right\} \\
\frac{d^{2} x_{1}^{(1)}}{d \tau^{2}}+x_{1}^{(1)}=\frac{1}{\lambda_{1}^{2}} F_{1}\left(x_{1}^{(0)}, \ldots, x_{n}^{(0)}, \frac{d x_{1}^{(0)}}{d \tau} \lambda_{1}, \ldots\right. \\
\left.\ldots, \frac{d x_{n}^{(0)}}{d \tau} \lambda_{1}\right)-2 g_{1} x_{1}^{(0)} \\
\frac{d^{2} x_{s}^{(1)}}{d \tau^{2}}+\frac{\lambda_{s}^{2}}{\lambda_{1}^{2}} x_{s}^{(1)}=\frac{1}{\lambda_{1}^{2}} F_{s}\left(x_{1}^{(0)}, \ldots, x_{n}^{(0)}, \frac{d x_{1}^{(0)}}{d \tau} \lambda_{1}, \ldots\right. \\
\left.\ldots, \frac{d x_{n}^{(0)}}{d \tau} \lambda_{1}\right)-2 g_{1} x_{s}^{(0)} \quad(s=2,3, \ldots, n) \\
\end{array}
\]

и т. д.
Начальные условия для функций $x_{i}$ мы должны надлежащим образом подобрать. Однако, используя тот факт, что правые части системы (5.39) не зависят от времени, мы можем потребовать, чтобы при $\tau=0$
\[
\frac{d x_{1}}{d \tau}=0 .
\]

Отсюда находим, что при $\tau=0$
\[
\frac{d x_{1}^{(k)}}{d \tau}=0 \quad(k=0,1,2, \ldots) .
\]

Периодическое решение системы (5.41), удовлетворяющее начальным условиям (5.43), единственно и имеет вид
\[
x_{1}^{(0)}=c \cos \tau, \quad x_{s}^{(0)}=0 \quad(s=2,3, \ldots, n),
\]

где $c$ – произвольная постоянная, которая определяется в следующем приближении.

Система (5.42) с учетом (5.44) может быть переписана в следующей форме:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{1}^{(1)}}{d \tau^{2}}+x_{1}^{(1)}=\frac{1}{\lambda_{1}^{2}} F_{1}(c \cos \tau, 0, \ldots, 0, \\
\left.-c \lambda_{1} \sin \tau, 0, \ldots, 0\right)-2 g_{1} c \cos \tau, \\
\frac{d^{2} x_{s}^{(1)}}{d \tau^{2}}+\frac{\lambda_{s}^{2}}{\lambda_{1}^{2}} x_{s}^{(1)}=\frac{1}{\lambda_{1}^{2}} F_{s}(c \cos \tau, 0, \ldots, 0, \\
\left.-c \lambda_{1} \sin \tau, 0, \ldots, 0\right) \quad(s=2,3, \ldots, n) . \\
\end{array}
\]

Для того чтобы система (5.45) имела периодические решения, необходимо и достаточно, чтобы
\[
\left.\begin{array}{c}
\int_{0}^{2 \pi} F_{1}\left(c \cos \tau, 0, \ldots, 0,-c \lambda_{1} \sin \tau, 0, \ldots, 0\right) \sin \tau d \tau=0, \\
g_{1}=\frac{1}{2 \pi c \lambda_{1}^{2}} \int_{0}^{2 \pi} F_{1}(c \cos \tau, 0, \ldots, 0, \\
\left.\quad-c \lambda_{1} \sin \tau, 0, \ldots, 0\right) \cos \tau d \tau .
\end{array}\right\}
\]

Первое из этих уравнений служит для определения амплитуды порождающего главного колебания, второе определяет первую поправку на частоту. Определив эти величины, мы находим функцию $x_{1}^{(1)}$ в виде (5.19), причем $N_{1}$ может быть определена, так как эта функция должна удовлетворять условию (5.43). Итак,
\[
x_{1}^{(1)}=\varphi_{1}(\tau)+M_{1} \cos \tau+N_{1} \sin \tau,
\]

где функция $\varphi_{1}$ – некоторая вполне определенная периодическая функция, $M_{1}$ – постоянная, которая определяется из следующего приближения.
Решение уравнения для $x_{s}^{(1)}$ имеет вид
\[
x_{s}^{(1,}=\varphi_{s}(\tau),
\]

где $\varphi_{s}(\tau)$ – вполне определенные периодические функции периода 2л. Аналогично вычисляотся и остальные члены разложения рядов (5.40).

Примечание. Для построения периодических решений мы использовали каноническое представление порождающей системы. В такой форме все вычисления значительно упрощаются. Разумеется при решении конкретных задач в процедуре предварительного выбора канонических переменных необходимости нет.