В предыдущем параграфе мы изучали квазилинейные системы. При построении вычислительных алгоритмов существенным образом использовалось то обстоятельство, что порождающее уравнение линейно и, следовательно, нам известен весь возможный набор его решений.
Основная черта метода Пуанкаре, да и любых методов нелинейной механики состоит в том, что рассматриваются уравнения, которые в том или ином смысле близки к уравнениям с известными решениями. Поэтому, отказываясь от квазилинейной трактовки, мы должны рассматривать уравнения, близкие не к линейным уравнениям, а к некоторым другим, для изучения которых мы имеем необходимую рецептуру. Известно очень
*) И. Г. Малкин, Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Москна, 1956.
немного типов уравнений, для которых существуют эффективные аналитические методы построения решений. $K$ ним относятся прежде всего системы Ляпунова. Естественно, что следующим после изучения квазилинейной теории должно быть изучение систем, близких к ляпуновским. Қак мы увидим ниже, этот шаг приведет к значительному расширению возможных типов установившихся режимов нелинейных систем.
Итак, в этом параграфе мы будем изучать системы вида
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\lambda y+X(x, y)+\mu F_{1}(x, y, t), \\
\dot{y}=\lambda x+Y(x, y)+\mu F_{2}(x, y, t),
\end{array}\right\}
\]
где $F_{i}$ – функции, аналитические по $x$ и $y$ и периодические по $t$ периода $T$. Не ограничивая общности, можем принять $T=2 \pi$. При $\mu=0$ система переходит в систему Ляпунова
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=-\lambda \eta+X(\xi, \eta) \\
\eta=\lambda \xi+Y(\xi: \eta)
\end{array}\right\}
\]
Поставим задачу отыскания периодических решений системы (8.1), период которых равен периоду возмущающих сил $F_{1}^{\prime}$ и $F_{2}$ и которые при $\mu \rightarrow 0$ переходят в периодические решения порождающего уравнения (8.2). Порождающее уравнение, согласно теореме Ляпунова, имеет семейство периодических решений
\[
\xi=\xi(c, t+h), \quad \eta=\eta(c, t+h),
\]
зависящее от двух параметров: «амплитуды» $c$ и «сдвига фазы»– . Согласно теореме Ляпунова период этого решения имеет вид
\[
T=\frac{2 \pi}{\lambda}\left(1+h_{2} c^{2 k}+h_{3} c^{2 k+1}+\ldots\right),
\]
где через $h_{2}$ мы обозначили первый из коэффициентов в разложении периода, который отличен от нуля. Из теоремы Ляпунова мы знаем, что младшая сеепень амплитуды $c$ в разложении периода всегда будет четная.
Мы будем изучать задачу отыскания периодического решения системы (8.1), которое при любом, достаточно малом $\mu$ имеет период, равный $2 \pi$. Следовательно, и предельное решение при $\mu=0$ будет также иметь период $2 \pi$ или $2 \pi / p$, где $p$ – некоторое целое число. Таким образом, период порождающего решения, так же как и в квазилинейной теории, мы знаем заранее:
\[
\frac{2 \pi}{p}=\frac{2 \pi}{\lambda}\left(1+h_{2} c^{2 k}+h_{3} c^{2 k+1}+\ldots\right) .
\]
Однако соотношение (8.3) позволяет определить также и параметр $c$ – амплитуду порождающего решения. Это обстоятельство качественно отличает изучаемую задачу от задач квазилинейных. В квазилинейных задачах объектом исследования как раз и является амплитуда порождающего решения, здесь же она известна заранее. Однако, как мы увидим ниже, этот факт отнюдь не приводит к упрощению задачи.
Различие обеих теорий – квазилинейной и рассматриваемой – в этом параграфе состоит в том, что в первой решения порождающего уравнения изохронны. Порождающее решение в рассматриваемой теории является нелинейным и поэтому в общем случае уже не является изохронным.
Уравнение (8.3) мы можем представить в следующем виде:
\[
h_{2} c^{2 k}+h_{3} c^{2 k+1}+\ldots=\frac{\lambda-p}{p},
\]
или, извлекая корень $2 k$-й степени, получим
\[
c+\frac{h_{3}}{2 k h_{2}} c^{2}+\ldots=\sqrt[2^{k}]{\frac{\lambda-p}{p h_{2}}} .
\]
Уравнение (8.4) для каждого значения $p$ и для каждого значения корня имеет бесконечное количество комплексных решений. Среди этих решений может оказаться и бесчисленное количество действительных решений. Қаждому из этих действительных корней может, вообще говоря, отвечать некоторое искомое периодическое решение исходной системы (8.7). Уже это одно показывает сколь сложной является поставленная задача.
Если $h_{2}>0$, то уравнение (8.4) для каждого $p<\lambda$ имеет только два действительных решения, одно из которых положительное, а другое – отрицательное. Если $h_{2}<0$, то два действительных решения существуют для любого $p>\lambda$. Эти решения системы (8.1) будем обозначать $x^{(p)}$ и $y^{(p)}$. Порождающие peшения, соответствующие им, обозначим через $\xi^{(p)}(c, t+h)$ и $\eta^{(p)}(c, t+h)$.
Порождающая система (8.2) всегда имеет тривиальное решение, которое мы можем считать периодическим любого периода T. Поэтому может оказаться, что система (8.1) допускает такие периодические решения, котсрые при $\mu \rightarrow 0$ переходят в тривиальные решения порождающей системы (8.2). Эти решения условимся обозначать $x^{(0)}$ и $y^{(0)}$.
