Докажем только первое из этих утверждений. Доказательство второго утверждения приводить не будем, так как оно достаточно громоздко *).
Пусть
\[
z=F(i, C),
\]
где $C$ — произвольная постоянная (вектор размерности $n$ ) есть общий интеграл порождающего уравнения (5.3). Это значит, что функция $F$ удовлетворяет уравнению (5.3)
\[
\frac{d F}{d t}=f[F(t, C), t, 0]
\]
при любом значении постоянной $C$. Через $\xi_{i}$ обозначим вектор
\[
\xi_{i}=\frac{\partial F(t, C)}{\partial C^{i}},
\]
где $C^{i}$ — $i$-я компонента вектора $C$. Вычислим
\[
\frac{d \xi_{i}}{d t}=\frac{d}{d t} \frac{\partial F}{\partial C^{i}}=\frac{\partial}{\partial C^{i}} \frac{d F}{d t} .
\]
Используем тождество (5.10)
\[
\frac{d \xi_{i}}{d t}=\frac{\partial}{\partial C^{i}}\{f(F(t, C), t, 0)\}=\frac{\partial f}{\partial F} \frac{\partial F}{\partial C^{i}}=\frac{\partial f}{\partial F} \xi_{i} .
\]
Здесь $\partial f / \partial F$ — квадратная матрица, причем очевидно, что
\[
\frac{\partial f}{\partial F}=A \text {. }
\]
Таким образом, вектор-функция $\xi_{i}$ удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравненнй
Система уравнений
\[
\begin{array}{c}
\xi_{i}=A \xi_{i} . \\
\dot{u}=A u
\end{array}
\]
называется уравнениями в вариациях для системы (5.1) и представляет собой систему линейных уравнений с переменными коэффициентами. Никаких общих рецептов интегрирования таких уравнений нет. Однако уравнения в вариациях обладают одним
*) См., например, В. В. Голубєв, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, изд. 2, Москва, 1950.
замечательным свойством, которое мы только что доказали. Это свойство можно сформулировать в виде следующей леммы.
Лемма. Если общий интеграл порождающего уравнения известен, то частные решения уравнений в вариациях могут быть выписаны в явном виде при помощи одной операции дифференцирования в соответствии с формулами (5.11).
Итак, формулы (5.11) определяют систему фундаментальных решений уравнений в вариациях. Теперь решение задачи Коши (5.9) для системы уравнений (5.8) можно получить в квадратурах, используя метод вариации произвольных постоянных. Приведем эти вычисления. Система уравнений (5.8) имеет вид
\[
\dot{y}=A y+D,
\]
где $D$ — известная функция времени. Решение уравнения (5.13) будем искать в виде
\[
y=Y \alpha,
\]
где $\alpha$ — некоторый неизвестный вектор, а $Y$-матрица фундаментальных решений уравнений в вариациях
\[
Y=\left\{\xi_{i}^{j}\right\},
\]
где $\xi_{i}^{j}$ — компонента вектора $\xi_{i}$, номер которой равен $j$. Таким образом,
\[
\frac{d Y}{d t}=A Y
\]
Дифференцируя (5.14) и подставляя в (5.13), получим
\[
Y \dot{\alpha}=D .
\]
При выводе (5.16) мы использовали (5.15). Итак,
\[
\dot{\alpha}=Y^{-1} D,
\]
откуда окончательно получим
\[
y=Y(t)\left\{\int_{0}^{t} Y^{-1}(\tau) D(\tau) d \tau+C^{*}\right\} .
\]
Для того чтобы удовлєтворить тачальным условиям (5.9), произвольную постоянную $C^{*}$ следует принять равной нулю. Итак,
\[
y=\int_{0}^{t} Y(t) Y^{-1}(\tau) D(\tau) d \tau .
\]
Матрица $Y(t) Y^{-1}(\tau)$ называется матрицей Грина. Первая часть теоремы Пуанкаре доказана полностью, поскольку выражение (5.17) получено путем дифференцирования и взятия квадратур.
